题目 已知 $f(x)$ 是二次函数，不等式 $f(x)<0$ 的解集是 $(0,5)$，且 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值是 $12$． 问题1 求 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)=2x^2-10x$ 解析1 由题意知，$0$，$5$ 是 $f(x)$ 的两个零点，所以设$$f(x)=ax(x-5).$$当 $a<0$ 时，$f(x)$ 的最大值$$f_{max}(x)=f\left(\dfrac 52\right)=\dfrac {25}{4}a=12,$$解得 $a=\dfrac {48}{25}>0$，矛盾．<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 的最大值$$f_{max}(x)=f(-1)=6a=12,$$解得 $a=2$，故$$f(x)=2x^2-10x.$$ 备注1 问题2 是否存在正整数 $m$，使得方程 $f(x)+\dfrac{37}{x}=0$ 在区间 $(m,m+1)$ 内有且只有两个不相等的实根？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由． 答案2 $m=3$ 是符合题意的唯一正整数 解析2 方程 $f(x)+\dfrac{37}x=0$ 即$$2x^3-10x^2+37=0.$$设上式左边为 $\varphi(x)$，则$$\varphi'(x)=6x\left(x-\dfrac{10}3\right),$$有极值点 $x=0$ 和 $x=\dfrac{10}3$．<br/>又因为$$g(3)>0,g\left(\dfrac{10}3\right)<0,g(4)>0,$$所以 $m=3$ 是符合题意的唯一正整数． 备注2