设实数 $a$，$m$ 满足 $a\leqslant 1$，$0<m \leqslant 2\sqrt 3$，函数 $f(x)=\dfrac {amx-mx^2}{a+a(1-a)^2m^2}$，$x \in (0,a)$．若存在 $a$，$m$，$x$，使 $f(x)\geqslant \dfrac {\sqrt 3}{2}$，求所有的实数 $x$ 的值．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
因为 $x \in (0,a)$ 时，$$amx-mx^2=-m\left(x-\dfrac a2\right)^2+\dfrac {ma^2}{4}\leqslant \dfrac {ma^2}{4},$$当且仅当 $x=\dfrac {a}{2}$ 时等号成立，所以\[\begin{split}\dfrac {\sqrt 3}{2}& \leqslant \dfrac {amx-mx^2}{a+a(1-a)^2m^2}\\&\leqslant \dfrac {\dfrac {ma^2}{4}}{a+a(1-a)^2m^2}\\&=\dfrac {ma}{4(1+(1-a)^2m^2)} \\ &\leqslant \dfrac {am}{4}\leqslant \dfrac { m}{4}\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{2} ,\end{split}\]当且仅当 $x=\dfrac a2$ 及 $a=1$ 与 $m=2\sqrt 3$ 时等号成立，故 $x=\dfrac 12$．
答案
解析
备注
