已知函数 $f(x)=x-k\sqrt{x^2-1},x\geqslant1$，其中 $k$ 为给定的实数，且 $0<k<1$，试求 $f(x)$ 的值域．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{1-k^2},+\infty\right]$
【解析】
当 $x>1$ 时，$f(x)$ 的导数是$$f'(x)=1-\dfrac{kx}{\sqrt{x^2-1}}.$$令 $f'(t)=0$，因为 $t>1$ 时，解得 $t=\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2}}$，因此$$f(t)=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2}}\right)=\sqrt{1-k^2}.$$结合 $f(1)=1$，有如下表格$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&1&(1,t)&t&(t,+\infty)\\ \hline f'(t)&&-&0&+\\ \hline f(x)&1&\searrow&&\nearrow\\ \hline\end{array}$$当 $x\to+\infty$ 时，$f(x)\to+\infty$，所以 $f(x)$ 的值域为 $\left[\sqrt{1-k^2},+\infty\right]$．
答案
解析
备注
