题目 数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1,a_2=4,a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}+1}(n\geqslant 2)$． 问题1 求证：数列 $\{a_n\}$ 为整数列； 答案1 略 解析1 定义 $a_0=0$，则当 $n \geqslant 1$ 时，\[a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}+1,a_{n+1}^2=a_na_{n+2}+1,\]两式相减，整理得：\[a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1})=a_n(a_{n+2}+a_n),\]即 $\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}$（对任意 $n \geqslant 1, a_n \ne 0$）．<br/>因此\[\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\dfrac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=\cdots=\dfrac{a_2+a_0}{a_1}=4.\]故 $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n(n \geqslant 1)$．<br/>由此递推式及 $a_1=1,a_2=4$，易得到数列 $\{a_n\}$ 为整数列． 备注1 问题2 求证：$2a_n a_{n+1}+1(n\geqslant 1)$ 是完全平方数． 答案2 略 解析2 对 $n \geqslant 1$，\[\begin{split}0&=a_{n+1}(a_{n+1}-4a_n+a_{n-1})\\&=a_{n+1}^2-4a_{n+1}a_n+a_{n+1}a_{n-1}\\&=a_{n+1}^2-4a_{n+1}a_n+a_n^2-1\\&=(a_{n+1}-a_n)^2-(2a_na_{n+1}+1).\end{split}\]因此 $2a_na_{n+1}+1=(a_{n+1}-a_n)^2$．故命题得证． 备注2