已知函数 $f(x)=x-k\sqrt{x^2-1},x\geqslant1$，其中 $k$ 为给定的实数，且 $0<k<1$，试求 $f(x)$ 的值域．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{1-k^2},+\infty\right]$
【解析】
令 $x=\sec\theta,\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\sqrt{x^2-1}=\tan\theta$．
令$$f(x)=u=\sec\theta-k\tan\theta=\dfrac{1-k\sin\theta}{\cos\theta},$$可知$$u\cos\theta+k\sin\theta=1,$$因此$$\sin(\theta+\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}},$$其中$$\sin\varphi=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+k^2}},\cos\varphi=\dfrac{k}{\sqrt{u^2+k^2}}.$$因为 $u>0$，由于 $|\sin\theta|\leqslant1$，得 $u\geqslant\sqrt{1-k^2}$．
又因为对于一切不小于 $\sqrt{1-k^2}$ 的 $u$ 值，都有$$\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}}\leqslant1,$$从而存在 $\varphi$ 与 $\theta$，使得\[\begin{split}&\sin\varphi=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+k^2}},\\&\cos\varphi=\dfrac{k}{\sqrt{u^2+k^2}},\\&\sin(\theta+\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}}\end{split}\]成立，从而$$u=\sec\theta-k\tan\theta,$$即存在 $x=\sec\theta$，使 $x-k\sqrt{x^2-1}=u$ 成立，故所求值域为 $[\sqrt{1-k^2},+\infty)$．
令$$f(x)=u=\sec\theta-k\tan\theta=\dfrac{1-k\sin\theta}{\cos\theta},$$可知$$u\cos\theta+k\sin\theta=1,$$因此$$\sin(\theta+\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}},$$其中$$\sin\varphi=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+k^2}},\cos\varphi=\dfrac{k}{\sqrt{u^2+k^2}}.$$因为 $u>0$，由于 $|\sin\theta|\leqslant1$，得 $u\geqslant\sqrt{1-k^2}$．
又因为对于一切不小于 $\sqrt{1-k^2}$ 的 $u$ 值，都有$$\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}}\leqslant1,$$从而存在 $\varphi$ 与 $\theta$，使得\[\begin{split}&\sin\varphi=\dfrac{u}{\sqrt{u^2+k^2}},\\&\cos\varphi=\dfrac{k}{\sqrt{u^2+k^2}},\\&\sin(\theta+\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{u^2+k^2}}\end{split}\]成立，从而$$u=\sec\theta-k\tan\theta,$$即存在 $x=\sec\theta$，使 $x-k\sqrt{x^2-1}=u$ 成立，故所求值域为 $[\sqrt{1-k^2},+\infty)$．
答案
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备注
