略

引入伸缩变换 $T:(x,y)\to\left(x, \dfrac 5 3y\right)$，则椭圆 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$ 在变换 $T$ 下的像为圆：$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{25}=1$，即 $x^2+y^2=25$，因为 $k_1:k_2=1:9$，所以 $\dfrac{k_{A'M'}}{k_{B'N'}}=\dfrac{\dfrac 5 3k_1}{\dfrac 5 3k_2}=\dfrac 1 9$，设 $M'N'$ 交 $x$ 轴于 $G'$，因此\[\begin{split}\dfrac 1 9=\dfrac{k_{A'M'}}{k_{B'N'}}&=\dfrac{\tan \angle M'A'B'}{\tan \angle N'B'A'}=
\dfrac{\left|M'B'\right|}{\left|M'A'\right|}\times \dfrac{\left|N'B'\right|}{\left|N'A'\right|}\\&=\dfrac{\left|M'B'\right|}{\left|N'A'\right|}\times \dfrac{\left|N'B'\right|}{\left|M'A'\right|}\\&=\dfrac{\left|B'G'\right|}{\left|G'N'\right|}\times \dfrac{\left|G'N'\right|}{\left|A'G'\right|}\\&=\dfrac{\left|B'G'\right|}{\left|A'G'\right|},\end{split}\]所以点 $G'$ 的坐标为 $(4,0)$，所以直线 $l$ 过定点 $G(4,0)$．

$15$

不妨设 $F'(-4,0)$，则\[\begin{split}S_1-S_2&=\dfrac 3 5 S_{\triangle A'M'N'} -\dfrac 3 5 S_{\triangle B'M'N'}\\&=\dfrac 3 5\left(S_{\triangle A'M'N'}-S_{\triangle B'M'N'}\right)\\&=\dfrac 3 5 S_{\triangle F'M'N'}\\&=\dfrac 6 5 S_{\triangle O'M'N'}\\&=\dfrac 6 5 \times \dfrac 1 2|O'M'|\cdot|O'N'|\cdot \sin \angle M'O'N'\\&\leqslant \dfrac 6 5\times \dfrac 1 2 \times 5 \times 5\times \sin 90^\circ\\&=15,\end{split}\]当且仅当 $O'M' \perp O'N'$ 时等号成立．
所以 $S_1-S_2$ 的最大值为 $15$．