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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26298 596da51577128b000aceeb26 高中 解答题 自招竞赛 某花店每天以每枝 $5$ 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $10$ 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． 2022-04-17 20:40:53
26297 596446d4e6a2e7000d504781 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P=\{x\mid x=7^{3}+a\times 7^{2}+b\times 7+c,a,b,c\leqslant 6,a,b,c\in\mathbb Z\}$．$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $n$ 个元素．求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:39:53
26296 596db03177128b00085bda59 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=ax-bx^2$，其中 $a,b$ 为正数． 2022-04-17 20:39:53
26295 59672e0c030398000978b36f 高中 解答题 自招竞赛 一个由空间中的点组成的集合 $S$ 满足性质：$S$ 中任意两点之间的距离互不相同．假设 $S$ 中的点的坐标 $(x,y,z)$ 都是整数，并且 $1\leqslant x,y,z\leqslant n$，证明：集合 $S$ 的元素个数小于 $\min\left\{(n+2)\sqrt{\dfrac n3},n\sqrt 6\right\}$． 2022-04-17 20:38:53
26294 596db03177128b00085bda5a 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上，不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且线段 $AB$ 的中点为 $D$，直线 $OD$ 的斜率为 $1$．记直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1\cdot k_2$ 为定值． 2022-04-17 20:38:53
26293 596dc8adbe56b5000abdd9ac 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle ACB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$，过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ 作 $CD$ 的垂线交 $AC$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $AB$ 的平行线交 $CD$ 于点 $F$． 2022-04-17 20:37:53
26292 596dc8adbe56b5000abdd9ae 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=2$，且对一切正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n+1$．
求证：$ \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n} \geqslant \dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{8}+\cdots +\dfrac {1}{2^n} $ 对一切正整数 $n$ 均成立．		 2022-04-17 20:36:53
26291 596dca0bbe56b50009042183 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆内接四边形 $ABCD$ 中，边 $BA,CD$ 的延长线交于点 $P$，点 $O_{1},O_{2}$ 分别是 $\triangle ABC,\triangle DBC$ 的内心，直线 $BO_{1},CO_{2}$ 交于点 $H$．求证：$PH\perp O_{1}O_{2}$． 2022-04-17 20:36:53
26290 596dca0bbe56b50009042184 高中 解答题 自招竞赛 求方程\[\sqrt[3]{x(3+\sqrt{8x-3})-1}+\sqrt[3]{x(3-\sqrt{8x-3})-1}=1\]的实数解． 2022-04-17 20:35:53
26289 596dca0bbe56b50009042185 高中 解答题 自招竞赛 某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．如果按一下第一个操作键，则将原显示屏上的数变为 $\left[\dfrac{x}{2}\right]$（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）；如果按一下第二个操作键，则将原显示屏上的数变为 $4x+1$．按一下任意一个操作键称为一次操作．现在显示屏上的数为 $1$，问： 2022-04-17 20:35:53
26288 596dca0cbe56b50009042186 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{n}=3a_{n-1}-a_{n-2},n\in\mathbb N^{*},n\geqslant 3$．问是否存在正整数 $n$，使得 $2^{2016}\parallel a_{n}$（即 $2^{2016}$ 整除 $a_{n}$，$2^{2017}$ 不整除 $a_{n}$）？如果存在，求出最小的正整数 $n$ 的值；如果不存在，请说明理由． 2022-04-17 20:34:53
26287 596dcbeabe56b50009042195 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_n=\dfrac {2}{1+a_{n-1}}$，$n \geqslant 2$．求 $a_n$ 的通项公式． 2022-04-17 20:33:53
26286 596dcbeabe56b50009042197 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的三边长度各不相等，$D$，$E$，$F$ 分别是 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的角平分线与边 $BC$，$CA$，$AB$ 的垂直平分线的交点．求证：$\triangle ABC$ 的面积小于 $\triangle DEF$ 的面积． 2022-04-17 20:32:53
26285 598167b4400acd00086e3144 初中 解答题 其他 已知直线 $y=kx+b$ 与抛物线 $y=ax^2$（$a>0$）相交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$ 作 $AD\perp x$ 轴，垂足为 $D$，延长 $AD,BO$ 相交于点 $E$，求证：$DE=CO$． 2022-04-17 20:32:53
26284 596eaa79dbbeff0009d29d9c 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ $(n\geqslant 0)$ 满足 $a_1=2$，$a_{m+n}+a_{m-n}-m+n=\dfrac 12 (a_{2m}+a_{2n})$，其中 $m,n\in \mathbb N$，$m\geqslant n$． 2022-04-17 20:32:53
26283 596ecf08dbbeff000aeab73d 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O$ 的一条弦 $AB$ 将圆分成两部分，$M$，$N$ 分别是两段弧的中点，以点 $B$ 为旋转中心，将弓形 $AMB$ 顺时针旋转一个角度成弓形 $A_1MB$，若 $AA_1$ 的中点为 $P$，$MN$ 的中点为 $Q$．求证：$MN=2PQ$． 2022-04-17 20:31:53
26282 596eef15dbbeff0008bb4e5f 高中 解答题 自招竞赛 在一个盒子中，放有标号分别为 $1,2,3$ 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 $x,y$，记 $\xi=|x-2|+|y-x|$． 2022-04-17 20:30:53
26281 596eef15dbbeff0008bb4e60 高中 解答题 自招竞赛 已知向量 $\overrightarrow{m}=\left(\sqrt3\sin\omega x,\cos\omega x\right)$，$\overrightarrow{n}=\left(\cos\omega x,-\cos\omega x\right)$（$\omega>0$），函数 $f(x)=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}$ 的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$． 2022-04-17 20:30:53
26280 596efbcadbbeff000706d27d 高中 解答题 自招竞赛 已知奇函数 $f(x)$ 在定义域 $[-3,3]$ 内是减函数，且 $f(x^2-2x)+f(x-2)<0$，求实数 $x$ 的取值范围． 2022-04-17 20:29:53
26279 596efbcadbbeff000706d27e 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $PA,PB$ 是 $\odot O$ 的两条切线，$PCD$ 是 $\odot O$ 的一条割线，$E$ 是 $AB$ 与 $PD$ 的交点．证明：$\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{CE}{DE}$． 2022-04-17 20:29:53
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