设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_n=\dfrac {2}{1+a_{n-1}}$，$n \geqslant 2$．求 $a_n$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac {(-2)^n+2}{(-2)^n-1}$
【解析】
因为$$\begin{split}a_n+2&=\dfrac {2(2+a_{n-1})}{1+a_{n-1}},\\a_n-1&=\dfrac {1-a_{n-1}}{1+a_{n-1}},\end{split}$$所以$$\dfrac {a_n+2}{a_n-1}=(-2)\cdot \dfrac {a_{n-1}+2}{a_{n-1}-1}=\cdots=(-2)^n,$$于是 $a_n=\dfrac {(-2)^n+2}{(-2)^n-1}$．
答案
解析
备注
