设数列 $\{a_n\}$ $(n\geqslant 0)$ 满足 $a_1=2$，$a_{m+n}+a_{m-n}-m+n=\dfrac 12 (a_{2m}+a_{2n})$，其中 $m,n\in \mathbb N$，$m\geqslant n$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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证明：对一切 $n\in \mathbb N$，有 $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2$；标注答案略解析在已知关系式$$a_{m+n}+a_{m-n}-m+n=\dfrac 12(a_{2m}+a_{2n})$$中，令 $m=n$，可得 $a_0=0$．
令 $n=0$，可得$$a_{2m}=4a_m-2m.\cdots \text{ ① }$$令 $m=n+2$，可得$$a_{2n+2}+a_2-2=\dfrac 12(a_{2n+4}+a_{2n}).\cdots \text{ ② }$$由 ① 得\[\begin{split}a_{2n+2}&=4a_{n+1}-2(n+1),\\ a_2&=4a_1-2=6,\\a_{2n+4}&=4a_{n+2}-2(n+2),\\ a_{2n}&=4a_n-2n,\end{split}\]代入 ②，化简得$$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2.$$ -
证明：$\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_{2009}}<1$．标注答案略解析由 $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2$，得$$(a_{n+2}-a_{n+1})=(a_{n+1}-a_n)+2,$$故数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 是首项为 $a_1-a_0=2$，公差为 $2$ 的等差数列，因此$$a_{n+1}-a_n=2n+2.$$于是$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})+a_0=\sum\limits_{k=1}^n{2k}+0=n(n+1).$$因为$$\dfrac 1{a_n}=\dfrac 1{n(n+1)}=\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}(n\geqslant 1),$$所以\[\begin{split}&\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_{2009}}\\=&\left(1-\dfrac 12\right)+\left(\dfrac 12 -\dfrac 13\right)+\cdots +\left(\dfrac 1{2009}-\dfrac 1{2010}\right) \\=&1-\dfrac 1{2010}\\ <&1.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
