题目 某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．如果按一下第一个操作键，则将原显示屏上的数变为 $\left[\dfrac{x}{2}\right]$（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）；如果按一下第二个操作键，则将原显示屏上的数变为 $4x+1$．按一下任意一个操作键称为一次操作．现在显示屏上的数为 $1$，问： 问题1 是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数 $2000$？并说明理由； 答案1 不可能出现，理由略 解析1 不可能．<br/>将数字转化成二进制，那么，按第一个操作键表示将显示屏上的数的最后一位去掉；按第二个操作表示在显示屏上的数后面加上 $01$．<br/>当初始数为 $1$ 时，经过以上两次操作后得到的数没有两个 $1$ 相邻，而$$(2010)_{10}=(11111010000)_{2},$$其中有两个以上的 $1$ 相邻，所以显示屏上不可能出现整数 $2000$． 备注1 问题2 小于 $2000$ 的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？ 答案2 $233$ 解析2 如果先进行第二种操作，后进行第一种操作，则等于在原数后加 $1$ 个 $0$，所以在二进制中，任意一个没有两个 $1$ 相邻的数都可以经过有限次操作得到．<br/>故在显示屏上可以出现的小于 $2000$ 的整数的个数等价于不大于 $(10101010101)_{2}$，且没有两个 $1$ 相邻的自然数的个数．<br/>不含 $1$ 的自然数只有 $1$ 个；<br/>含有 $1$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 ${\rm C}_{11}^{1}=11$ 个；<br/>含有 $2$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 ${\rm C}_{10}^{2}=45$ 个；<br/>含有 $3$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 ${\rm C}_{9}^{3}=84$ 个；<br/>含有 $4$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 ${\rm C}_{8}^{4}=70$ 个；<br/>含有 $5$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 ${\rm C}_{7}^{5}=21$ 个；<br/>含有 $6$ 个 $1$ 且不大于 $(10101010101)_{2}$ 的自然数有 $1$ 个；<br/>综上所述，满足条件的自然数有：$$1+11+45+84+70+21+1=233$$个． 备注2