已知向量 $\overrightarrow{m}=\left(\sqrt3\sin\omega x,\cos\omega x\right)$，$\overrightarrow{n}=\left(\cos\omega x,-\cos\omega x\right)$（$\omega>0$），函数 $f(x)=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}$ 的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求 $\omega$ 的值；标注答案$2$解析由题对 $f(x)$ 进行变形整理得$$f(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2\omega x-\cos^2\omega x=\sin\left(2\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac12,$$所以周期$$T=\dfrac{2\pi}{2\omega}=\dfrac{\pi}{2},$$解得 $\omega=2$．
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设 $\triangle ABC$ 的三边 $a,b,c$ 满足 $b^2=ac$，且边 $b$ 所对的角为 $x$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围．标注答案$\left(-1,-\dfrac12\right)$解析由题结合余弦定理与均值不等式可得$$\begin{split}\cos x&=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\&=\dfrac{a^2+c^2-ac}{2ac}\\&\geqslant\dfrac{2ac-ac}{2ac}\\&=\dfrac12,\end{split}$$则 $0<x\leqslant \dfrac{\pi}{3}$，所以$$4x-\dfrac{\pi}{6}\in\left(-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6}\right],$$于是$$\sin \left(4x-\dfrac {\pi}{6}\right)\in \left[-\dfrac 12,1\right].$$又因为 $f(x)=k$ 等价于$$\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)=k+\dfrac12,$$因此只需$$-\dfrac12<k+\dfrac12<1,$$解得 $-1<k<\dfrac12$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
