已知函数 $f(x)=ax-bx^2$，其中 $a,b$ 为正数．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
-
若对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x)\leqslant 1$，证明 $a\leqslant 2\sqrt b$；标注答案略解析因为 $f(x)\leqslant 1$ 恒成立，所以\[f(x)_{\max}=f\left(\dfrac{a}{2b}\right)=a\cdot \dfrac{a}{2b}-b\cdot\dfrac{a^2}{4b^2}=\dfrac {a^2}{4b}\leqslant 1.\]因为 $b>0$，所以 $a^2\leqslant 4b$，即 $a\leqslant 2\sqrt b$．
-
当 $b>1$ 时，证明：对任意 $x\in [0,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$ 成立的充要条件是 $b-1\leqslant a\leqslant 2\sqrt b$．标注答案略解析必要性：
设对任意 $x\in [0,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$．
由已知得 $f(1)\geqslant -1$，即$$a\geqslant b-1.$$因为 $b>1$，所以 $\dfrac{1}{\sqrt b}\in (0,1)$，从而$$f\left(\dfrac{1}{\sqrt b}\right)\leqslant 1,$$即 $a\leqslant 2\sqrt b$．
因此，对任意 $x\in [0,1]$，若 $|f(x)|\leqslant 1$，则\[b-1\leqslant a\leqslant 2\sqrt b.\]充分性：
由于 $b>1$，且\[b-1\leqslant a\leqslant 2\sqrt b,\]所以对任意 $x\in [0,1]$，\[\begin{split}f(x)&=ax-bx^2\\&\geqslant (b-1)x-bx^2\\&=bx(1-x)-x\\&\geqslant -x\geqslant -1.\end{split}\]另一方面，\[\begin{split}f(x)&=ax-bx^2\\&\leqslant 2\sqrt bx-bx^2\\&=-(\sqrt b x-1)^2+1\\&\leqslant 1,\end{split}\]所以对任意 $x\in [0,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$．
综上所述，对任意 $x\in [0,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$ 的充要条件是\[b-1\leqslant a\leqslant 2\sqrt b.\]．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
