求方程\[\sqrt[3]{x(3+\sqrt{8x-3})-1}+\sqrt[3]{x(3-\sqrt{8x-3})-1}=1\]的实数解．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
$\left\{x\left|x\geqslant \dfrac 38\right.\right\}$
【解析】
在实数范围内，$x\geqslant \dfrac{3}{8}$．
令 $A=\sqrt[3]{x(3+\sqrt{8x-3})-1}$，$B=\sqrt[3]{x(3-\sqrt{8x-3})-1}$，则\[\begin{split}&A^{3}+B^{3}=6x-2,\\&AB =1-2x.\end{split}\]由于\[(A+B)^{3}=A^{3}+B^{3}+3AB(A+B),\]令 $t=A+B$，则\[t,^{3}-3(1-2x)t-(6x-2)=0\]即\[(t-1)(t^{2}+t+6x-2)=0.\]因为\[t^{2}+t+6x-2=\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+6\left(x-\dfrac{3}{8}\right),\]而当 $x=\dfrac{3}{8}$ 时，\[t=A+B=2\sqrt[3]{3x-1}=1,\]从而\[t^{2}+t+6x-2>0,\]于是，对任意的 $x\geqslant \dfrac{3}{8}$，因为$$t^{2}+t+6x-2>0,$$所以必有 $t=1$．
故原方程的实数解构成的集合为 $\left\{x\left|x\geqslant \dfrac{3}{8}\right.\right\}$．
令 $A=\sqrt[3]{x(3+\sqrt{8x-3})-1}$，$B=\sqrt[3]{x(3-\sqrt{8x-3})-1}$，则\[\begin{split}&A^{3}+B^{3}=6x-2,\\&AB =1-2x.\end{split}\]由于\[(A+B)^{3}=A^{3}+B^{3}+3AB(A+B),\]令 $t=A+B$，则\[t,^{3}-3(1-2x)t-(6x-2)=0\]即\[(t-1)(t^{2}+t+6x-2)=0.\]因为\[t^{2}+t+6x-2=\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+6\left(x-\dfrac{3}{8}\right),\]而当 $x=\dfrac{3}{8}$ 时，\[t=A+B=2\sqrt[3]{3x-1}=1,\]从而\[t^{2}+t+6x-2>0,\]于是，对任意的 $x\geqslant \dfrac{3}{8}$，因为$$t^{2}+t+6x-2>0,$$所以必有 $t=1$．
故原方程的实数解构成的集合为 $\left\{x\left|x\geqslant \dfrac{3}{8}\right.\right\}$．
答案
解析
备注
