在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P(2,1)$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上，不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且线段 $AB$ 的中点为 $D$，直线 $OD$ 的斜率为 $1$．记直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1\cdot k_2$ 为定值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A,B$ 两点的坐标为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，从而 $D\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$．
因为直线 $OD$ 的斜率为 $1$，故$$x_1+x_2=y_1+y_2.$$又点 $A,B$ 在椭圆上，所以有$$\begin{split}\dfrac{x_1^2}{6}+\dfrac{y_1^2}{3}=1,\\\dfrac{x_2^2}{6}+\dfrac{y_2^2}{3}=1,\end{split}$$从而\[\dfrac{x_1^2-x_2^2}{6}-\dfrac{y_1^2-y_2^2}{3}=0,\]即\[x_1-x_2+2(y_1-y_{2})=0,\]所以$$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{1}{2},$$即直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$．
设直线 $l$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{2}x+t$，由$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1,\\ y=-\dfrac{1}{2}x+t,\end{cases}$$得\[\dfrac{3}{2}x^2-2tx+2t^2-6=0,\]所以\[x_1+x_2=\dfrac{4t}{3},x_1x_2=\dfrac{4(t^2-3)}{3},\]从而\[\begin{split}k_1k_2&=\dfrac{(y_1-1)(y_2-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}\\&=\dfrac{y_1y_2-(y_1+y_2)+1}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}\\&=\dfrac{\dfrac{1}{4}x_1x_2-\left(\dfrac{t-1}{2}\right)(x_1+x_2)-2t+t^2+1}{x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4}\\&=\dfrac{\dfrac{t^{2}-3}{3}-\left(\dfrac{t-1}{2}\right)\cdot \dfrac{4t}{3}-2t+t^{2}+1}{\dfrac{4(t^{2}-3)}{3}-2\cdot \dfrac{4t}{3}+4}\\&=\dfrac{\dfrac{2t^{2}}{3}-\dfrac{4t}{3}}{\dfrac{4t^{2}}{3}-\dfrac{8t}{3}}=\dfrac{1}{2},\end{split}\]为定值．
因为直线 $OD$ 的斜率为 $1$，故$$x_1+x_2=y_1+y_2.$$又点 $A,B$ 在椭圆上，所以有$$\begin{split}\dfrac{x_1^2}{6}+\dfrac{y_1^2}{3}=1,\\\dfrac{x_2^2}{6}+\dfrac{y_2^2}{3}=1,\end{split}$$从而\[\dfrac{x_1^2-x_2^2}{6}-\dfrac{y_1^2-y_2^2}{3}=0,\]即\[x_1-x_2+2(y_1-y_{2})=0,\]所以$$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{1}{2},$$即直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$．
设直线 $l$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{2}x+t$，由$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1,\\ y=-\dfrac{1}{2}x+t,\end{cases}$$得\[\dfrac{3}{2}x^2-2tx+2t^2-6=0,\]所以\[x_1+x_2=\dfrac{4t}{3},x_1x_2=\dfrac{4(t^2-3)}{3},\]从而\[\begin{split}k_1k_2&=\dfrac{(y_1-1)(y_2-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}\\&=\dfrac{y_1y_2-(y_1+y_2)+1}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}\\&=\dfrac{\dfrac{1}{4}x_1x_2-\left(\dfrac{t-1}{2}\right)(x_1+x_2)-2t+t^2+1}{x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4}\\&=\dfrac{\dfrac{t^{2}-3}{3}-\left(\dfrac{t-1}{2}\right)\cdot \dfrac{4t}{3}-2t+t^{2}+1}{\dfrac{4(t^{2}-3)}{3}-2\cdot \dfrac{4t}{3}+4}\\&=\dfrac{\dfrac{2t^{2}}{3}-\dfrac{4t}{3}}{\dfrac{4t^{2}}{3}-\dfrac{8t}{3}}=\dfrac{1}{2},\end{split}\]为定值．
答案
解析
备注
