已知直线 $y=kx+b$ 与抛物线 $y=ax^2$（$a>0$）相交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$ 作 $AD\perp x$ 轴，垂足为 $D$，延长 $AD,BO$ 相交于点 $E$，求证：$DE=CO$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
如图，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，
因为 $C$ 为 $y=kx+b$ 与 $y$ 轴交点，
所以 $C(0,b)$．
又因为 $AD\perp x$ 轴，垂足为点 $D$，
所以 $D(x_1,0)$ 连接 $CD$，
所以 $CD$ 所在直线斜率 $k_1=-\dfrac{b}{x_1}$，$BE$ 所在直线斜率 $k_2=\dfrac{y_2}{x_2}$，
所以 $\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\cdot (-\dfrac{x_1}{b})=-\dfrac{ax_2^2x_1}{bx_2}=-\dfrac abx_1x_2$．
因为 $A,B$ 为 $y=kx+b$ 与 $y=ax^2$ 的交点，
所以 $x_1,x_2$ 是 $kx+b=ax^2$ 的两个实数根，
所以 $x_1x_2=-\dfrac ba$，
所以 $\dfrac{k_2}{k_1}=-\dfrac ab\cdot x_1x_2=-\dfrac ab\cdot (-\dfrac ba)=1$．
所以 $CD\parallel BE$，$CO\parallel DE$，
所以四边形 $COED$ 为平行四边形，
所以 $DE=CO$
因为 $C$ 为 $y=kx+b$ 与 $y$ 轴交点，所以 $C(0,b)$．
又因为 $AD\perp x$ 轴，垂足为点 $D$，
所以 $D(x_1,0)$ 连接 $CD$，
所以 $CD$ 所在直线斜率 $k_1=-\dfrac{b}{x_1}$，$BE$ 所在直线斜率 $k_2=\dfrac{y_2}{x_2}$，
所以 $\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\cdot (-\dfrac{x_1}{b})=-\dfrac{ax_2^2x_1}{bx_2}=-\dfrac abx_1x_2$．
因为 $A,B$ 为 $y=kx+b$ 与 $y=ax^2$ 的交点，
所以 $x_1,x_2$ 是 $kx+b=ax^2$ 的两个实数根，
所以 $x_1x_2=-\dfrac ba$，
所以 $\dfrac{k_2}{k_1}=-\dfrac ab\cdot x_1x_2=-\dfrac ab\cdot (-\dfrac ba)=1$．
所以 $CD\parallel BE$，$CO\parallel DE$，
所以四边形 $COED$ 为平行四边形，
所以 $DE=CO$
【解析】
略
答案
解析
备注
