已知集合 $P=\{x\mid x=7^{3}+a\times 7^{2}+b\times 7+c,a,b,c\leqslant 6,a,b,c\in\mathbb Z\}$．$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $n$ 个元素．求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
$n$ 的最大值是 $6$．
$n=6$ 的例子 显然$$\begin{split}7^{3}+7^{2}+7+1,7^{3}+7^{2}+7+2,7^{3}+7^{2}+7+3,\\7^{3}+7^{2}+7+4,7^{3}+7^{2}+7+5,7^{3}+7^{2}+7+6,\end{split}$$这 $6$ 个数在集合 $P$ 中，且构成等差数列．
$n$ 不超过 $6$ 下面证明集合 $P$ 中任意 $7$ 个不同的数都不能构成等差数列．
用反证法，假设 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{7}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $7$ 个不同的元素，其公差为 $d$，$d>0$．
由集合 $P$ 中元素的特性知，集合 $P$ 中任意一个元素都不是 $7$ 的倍数．所以，由抽屉原理知，在 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{7}$ 这 $7$ 个数中，存在 $2$ 个数，它们被 $7$ 除的余数相同，其差能被 $7$ 整除．
设 $x_{i}-x_{j}(i,j\in\{1,2,3,4,5,6,7\},i<j)$ 能被 $7$ 整除，则$$7\mid(j-i)d,$$所以 $7\mid d$．
设 $d=7m$（$m\in\mathbb N^*$），设$$x_{1}=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3},$$其中 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 为不超过 $6$ 的正整数，则$$x_{i}=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3}+7(i-1)m,$$其中 $i=2,3,\cdots,7$．
因为\[\begin{split}&x_{7}\leqslant 7^{3}+6\times 7^{2}+6\times 7+6,\\&x_{7}\geqslant 7^{3}+1\times 7^{2}+1\times 7+1+7(7-1)m,\end{split}\]所以 $1\leqslant m\leqslant 6$，即公差 $d$ 只能为$$7\times 1,7\times 2,\cdots,7\times 6.$$因为 $1\leqslant m\leqslant 6$，且 $(7,m)=1$，所以 $m,2m,\cdots ,6m$ 除以 $7$ 以后的余数各不相同，分别为 $1,2,\cdots,6$ 中的一个．
因此，存在 $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$，使得 $a_{2}+km$ 能被 $7$ 整除．
设 $a_{2}+km=7t$（$t\in\mathbb N^*$），则\[\begin{split}x_{k+1}&=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3}+7km \\&=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+(a_{2}+km)\times 7+a_{3}\\&=7^{3}+(a_{1}+t)\times 7^{2}+a_{3}.\end{split}\]这样，$x_{k+1}$ 的 $7$ 进制表示中，$7$ 的系数（即从左到右第 $2$ 位）为 $0$，与 $x_{k+1}\in P$ 矛盾，所以集合 $P$ 中任意 $7$ 个不同的数都不能构成等差数列．
因此 $n$ 的最大值为 $6$．
用反证法，假设 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{7}$ 为集合 $P$ 中构成等差数列的 $7$ 个不同的元素，其公差为 $d$，$d>0$．
由集合 $P$ 中元素的特性知，集合 $P$ 中任意一个元素都不是 $7$ 的倍数．所以，由抽屉原理知，在 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{7}$ 这 $7$ 个数中，存在 $2$ 个数，它们被 $7$ 除的余数相同，其差能被 $7$ 整除．
设 $x_{i}-x_{j}(i,j\in\{1,2,3,4,5,6,7\},i<j)$ 能被 $7$ 整除，则$$7\mid(j-i)d,$$所以 $7\mid d$．
设 $d=7m$（$m\in\mathbb N^*$），设$$x_{1}=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3},$$其中 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 为不超过 $6$ 的正整数，则$$x_{i}=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3}+7(i-1)m,$$其中 $i=2,3,\cdots,7$．
因为\[\begin{split}&x_{7}\leqslant 7^{3}+6\times 7^{2}+6\times 7+6,\\&x_{7}\geqslant 7^{3}+1\times 7^{2}+1\times 7+1+7(7-1)m,\end{split}\]所以 $1\leqslant m\leqslant 6$，即公差 $d$ 只能为$$7\times 1,7\times 2,\cdots,7\times 6.$$因为 $1\leqslant m\leqslant 6$，且 $(7,m)=1$，所以 $m,2m,\cdots ,6m$ 除以 $7$ 以后的余数各不相同，分别为 $1,2,\cdots,6$ 中的一个．
因此，存在 $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$，使得 $a_{2}+km$ 能被 $7$ 整除．
设 $a_{2}+km=7t$（$t\in\mathbb N^*$），则\[\begin{split}x_{k+1}&=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+a_{2}\times 7+a_{3}+7km \\&=7^{3}+a_{1}\times 7^{2}+(a_{2}+km)\times 7+a_{3}\\&=7^{3}+(a_{1}+t)\times 7^{2}+a_{3}.\end{split}\]这样，$x_{k+1}$ 的 $7$ 进制表示中，$7$ 的系数（即从左到右第 $2$ 位）为 $0$，与 $x_{k+1}\in P$ 矛盾，所以集合 $P$ 中任意 $7$ 个不同的数都不能构成等差数列．
因此 $n$ 的最大值为 $6$．
答案
解析
备注
