2010年全国高中数学联赛福建省预赛

略

因为 $a_1=2$，且对一切正整数 $n$ 有$$a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n+1,$$所以，对一切正整数 $n$ 有 $a_n \geqslant 2$，于是$$a_1a_2\cdots a_n\geqslant 2^n.$$下面用数学归纳法证明对一切正整数 $n$ 都有$$1-\left( \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}\right)=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_n}.$$归纳基础当 $n=1$ 时，由 $a_1=2$ 知，$1-\dfrac {1}{a_1}=\dfrac {1}{a_1}$ 成立．
递推证明假设 $n=k$（$k \geqslant 1$，$k\in \mathbb N$）时，等式成立，即$$1-\left( \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_k}\right)=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_k}.$$当 $n=k+1$ 时，因为$$a_{k+1}=a_1a_2a_3\cdots a_k+1,$$所以\[\begin{split}1-\left( \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_k}+\dfrac {1}{a_{k+1}}\right)&=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_k}-\dfrac {1}{a_{k+1}}\\&=\dfrac {a_{k+1}-a_1a_2a_3\cdots a_k}{a_1a_2a_3\cdots a_ka_{k+1}}\\&=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_ka_{k+1}},\end{split}\]所以 $n=k+1$ 时等式也成立．
由数学归纳原理，对一切正整数 $n$，都有$$1-\left( \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}\right)=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_n}.$$又因为$$a_1a_2a_3\cdots a_n\geqslant 2^n,$$所以对一切正整数 $n$，有$$1- \dfrac {1}{a_1}-\dfrac {1}{a_2}-\dfrac {1}{a_3}-\cdots-\dfrac {1}{a_n}=\dfrac {1}{a_1a_2a_3\cdots a_n} \leqslant \dfrac {1}{2^n},$$所以$$ \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n} \geqslant 1-\dfrac {1}{2^n}.$$又因为$$\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{8}+\cdots +\dfrac {1}{2^n} = 1-\dfrac {1}{2^n},$$所以$$\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n} \geqslant \dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{8}+\cdots +\dfrac {1}{2^n}$$对一切正整数 $n$ 均成立．