如图，$\odot O$ 的一条弦 $AB$ 将圆分成两部分，$M$，$N$ 分别是两段弧的中点，以点 $B$ 为旋转中心，将弓形 $AMB$ 顺时针旋转一个角度成弓形 $A_1MB$，若 $AA_1$ 的中点为 $P$，$MN$ 的中点为 $Q$．求证：$MN=2PQ$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $AB$，$A_1B$ 的中点分别为 $E$，$F$，由于在 $\odot O$ 中，点 $E$，$F$ 是重合的，且是直径 $MN$ 与 $AB$ 的交点，所以$$MF \cdot EN=AE \cdot EB=PE \cdot PF,$$则 $\dfrac {MF}{PF}=\dfrac {PE}{NE}$，且$$\angle MFP=\angle PEN=90^{\circ}+\angle ABA_1,$$于是 $\triangle MFP \sim \triangle PEN$，所以\[\begin{split} \angle MPN&=\angle MPF+\angle FPE+\angle EPN\\&=\angle MPF+\angle PFA_1+\angle PMF\\&=180^{\circ}-\angle MFA_1=90^{\circ} .\end{split}\]即点 $Q$ 为直角三角形 $MPN$ 的斜边中点，故 $MN=2PQ$．
答案
解析
备注
