已知 $\triangle ABC$ 的三边长度各不相等，$D$，$E$，$F$ 分别是 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的角平分线与边 $BC$，$CA$，$AB$ 的垂直平分线的交点．求证：$\triangle ABC$ 的面积小于 $\triangle DEF$ 的面积．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设易证 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 六点共圆．
不妨设圆半径为 $1$，则有$$\begin{cases}S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C),\\S_{\triangle DEF}=\dfrac 12(\sin A+\sin B+\sin C). \end{cases}$$因为 $\triangle ABC$ 三边长度各不相等，所以\[\begin{split}\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C&=\dfrac 12(\sin 2A+\sin 2B)+\dfrac 12(\sin 2B+\sin 2C)+\dfrac 12(\sin 2C+\sin 2A)\\&=\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin (B+C)\cos (B-C)+\sin (C+A)\cos (C-A) \\&<\sin (A+B) +\sin (B+C)+\sin (C+A)\\&=\sin A+\sin B+\sin C,\end{split}\]即 $S_{\triangle ABC}<S_{\triangle DEF}$．
不妨设圆半径为 $1$，则有$$\begin{cases}S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C),\\S_{\triangle DEF}=\dfrac 12(\sin A+\sin B+\sin C). \end{cases}$$因为 $\triangle ABC$ 三边长度各不相等，所以\[\begin{split}\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C&=\dfrac 12(\sin 2A+\sin 2B)+\dfrac 12(\sin 2B+\sin 2C)+\dfrac 12(\sin 2C+\sin 2A)\\&=\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin (B+C)\cos (B-C)+\sin (C+A)\cos (C-A) \\&<\sin (A+B) +\sin (B+C)+\sin (C+A)\\&=\sin A+\sin B+\sin C,\end{split}\]即 $S_{\triangle ABC}<S_{\triangle DEF}$．
答案
解析
备注
