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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26398 5927909b74a309000ad0ce90 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，点 $A\left(10,0\right)$，以 $OA$ 为直径在第一象限内作半圆，$B$ 为半圆上一点，连接 $AB$ 并延长至 $C$，使 $BC=AB$，过 $C$ 作 $CD\perp x$ 轴于点 $D$，交线段 $OB$ 于点 $E$，已知 $CD=8$，抛物线经过 $O,E,A$ 三点．若 $P$ 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 $P,O,A,E$ 为顶点的四边形面积记作 $S$，则 $S$ 取何值时，相应的点 $P$ 有且只有 $3$ 个？ 2022-04-17 20:36:54
26397 597ed3f1d05b9000091652ca 高中 解答题 高中习题 已知 ${a_n}={4^n}-{2^n}$，${T_n}=\dfrac{{{2^n}}}{{{a_1}+{a_2}+\cdots+{a_n}}}$．求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {{T_k}}<\dfrac{3}{2}$． 2022-04-17 20:35:54
26396 597ed437d05b9000091652ce 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{{\left( {2k-1} \right)}^2}}}}>\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{{2\left( {2n-1} \right)}}$（$n \geqslant 2$）． 2022-04-17 20:34:54
26395 591bbdf61f7ee1000b77b3c1 初中 解答题 其他 如图，一小球从斜坡 $O$ 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 $y=-x^2+4x$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y=\dfrac 12x$ 刻画．连接抛物线的最高点 $P$ 与点 $O,A$ 得 $\triangle POA$，在 $OA$ 上方的抛物线上存在一点 $M$（$M$ 与 $P$ 不重合），$\triangle MOA$ 的面积等于 $\triangle POA$ 的面积，求点 $M$ 的坐标． 2022-04-17 20:34:54
26394 596c06d122d14000091d72e3 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $1$，并且 $\sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B$． 2022-04-17 20:33:54
26393 596c06d122d14000091d72e4 高中 解答题 自招竞赛 设无穷数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{a_{n-1}}(n\geqslant2)$．证明： 2022-04-17 20:32:54
26392 597eda88d05b9000091652fc 高中 解答题 高中习题 求 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt [n]{n}$． 2022-04-17 20:32:54
26391 597edabbd05b90000b5e325a 高中 解答题 高中习题 设 $f\left( x \right) = {x^2} + ax + b$，$g\left( x \right) = {x^2} + cx + d$，如果方程 $f\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)$ 没有实根，求证：$b \ne d$． 2022-04-17 20:31:54
26390 596c06d122d14000091d72e5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n=2^m$，$m$ 是正整数，求所有满足 $f(x^2+1)=f^2(x)+1$ 的 $n$ 次实系数多项式 $f(x)$． 2022-04-17 20:30:54
26389 597edb1ed05b90000c80595f 高中 解答题 高中习题 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left[n^2\left(\sqrt [n]{a}-\sqrt [n+1]{a}\right)\right]$，其中 $a>0$． 2022-04-17 20:30:54
26388 596c06d122d14000091d72e6 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$，对平面上的任意 $n$ 个向量 $\overrightarrow{\alpha_1},\overrightarrow{\alpha_2},\cdots,\overrightarrow{\alpha_n}$，以 $M$ 表示满足 $i<j$ 且 $\overrightarrow{a_i}\cdot \overrightarrow{a_j}<0$ 的实数对 $(i,j)$ 的个数．证明：$M\leqslant\dfrac{n^2}{3}$． 2022-04-17 20:29:54
26387 591ab25c1f7ee1000ad49855 初中 解答题 其他 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线 $y=ax^2+bx-2$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$．$B(1,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$．将抛物线向上平移 $\dfrac 32$ 个单位长度（如图2）若动点 $P(x,y)$ 在平移后的抛物线上，且点 $P$ 在第三象限，请求出 $\triangle PDE$ 的面积关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $\triangle PDE$ 面积的最大值． 2022-04-17 20:28:54
26386 597edcb3d05b90000c80596d 高中 解答题 高中习题 设 $p , q$ 是一元二次方程 ${x^2} + 2ax - 1 = 0\left( {a > 0} \right)$ 的两个根，其中 $p > 0$．令 ${y_1} = p - q$，${y_{n + 1}} = y_n^2 - 2$，$n=1,2,\cdots$．证明：$\lim\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{y_1}}} + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2}}} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2} \cdot \cdot \cdot {y_n}}}} \right) = p$． 2022-04-17 20:28:54
26385 597edcb7d05b900009165309 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 是自然数，解方程：$\left[x\right]+\left[\dfrac{x}{3!}\right]+\left[\dfrac{x}{5!}\right]+\left[\dfrac{x}{7!}\right]+\left[\dfrac{x}{9!}\right]=2016$． 2022-04-17 20:27:54
26384 597eddc3d05b90000addb4a2 高中 解答题 高中习题 若公比为 $c$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$ 且满足 $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n-2}}2$，$n=3,4,\cdots $． 2022-04-17 20:27:54
26383 597ede70d05b90000addb4a6 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 满足 $\forall x\in {\mathbb R},\left|f(x)\right|\leqslant 1$，且 $\forall a,b\in{\mathbb R},f(ab)=af(b)+bf(a)$．求证：$f(x)\equiv 0$． 2022-04-17 20:26:54
26382 5915554b1edfe2000949cea3 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OCDE$ 的顶点 $C$ 和 $E$ 分别在 $y$ 轴的正半轴和 $x$ 轴的正半轴上，$OC=8$，$OE=17$，抛物线 $y= \dfrac3{20}x^2-3x+5$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$，抛物线的对称轴与 $x$ 轴相交于点 $B$，与 $CD$ 交于点 $K$．将矩形 $OCDE$ 沿着经过点 $E$ 的直线折叠，点 $O$ 恰好落在边 $CD$ 上的点 $G$ 处，连接 $OG$，折痕与 $OG$ 相交于点 $H$，点 $M$ 是线段 $EH$ 上的一个动点（不与点 $H$ 重合），连接 $MG$，$MO$，过点 $G$ 作 $GP\perp OM$ 于点 $P$，交 $EH$ 于点 $N$，连接 $ON$，点 $M$ 从点 $E$ 开始沿线段 $EH$ 向点 $H$ 运动，至与点 $N$ 重合时停止，$\triangle MOG$ 和 $\triangle NOG$ 的面积分别表示为 $S_1$ 和 $S_2$，在点 $M$ 的运动过程中，$S_1\cdot S_2$（即 $S_1$ 与 $S_2$ 的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值． 2022-04-17 20:25:54
26381 597edfcad05b90000addb4ad 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，解函数方程：$f(x+y)+f(x-y)=f(x)\cdot \cos y$． 2022-04-17 20:24:54
26380 5913b825e020e70007fbeed8 初中 解答题 其他 如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=-\dfrac 6 x $ 的图象在第二象限交于点 $C$，$CE\perp x$ 轴，垂足为点 $E $，$ \tan \angle ABO=\dfrac 1 2 $，$ OB=4$，$ OE=2$．若点 $D$ 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 $D$ 作 $DF\perp y$ 轴，垂足为点 $F$，连接 $OD , BF$，如果 $S_{\triangle BAF}=4S_{\triangle DFO}$，求点 $D$ 的坐标． 2022-04-17 20:24:54
26379 597ee134d05b90000addb4b1 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {\sqrt {k\left( {k+1} \right)} }<\dfrac{{n\sqrt {{n^2}+4n+3} }}{2}$． 2022-04-17 20:24:54
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