已知 ${a_n}={4^n}-{2^n}$，${T_n}=\dfrac{{{2^n}}}{{{a_1}+{a_2}+\cdots+{a_n}}}$．求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {{T_k}}<\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
经计算$${T_n}=\dfrac{{3 \cdot {2^n}}}{{4 \cdot {2^{2n}}-6 \cdot {2^n}+2}}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{{{2^n}}}{{\left( {{2^{n+1}}-1} \right)\left( {{2^n}-1} \right)}}= \dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{1}{{{2^n}-1}}-\dfrac{1}{{{2^{n+1}}-1}}} \right),$$从而$$\sum\limits_{k=1}^n {{T_k}}=\dfrac{3}{2}\sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{1}{{{2^k}-1}}-\dfrac{1}{{{2^{k+1}}-1}}} \right)}=\dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{1}{{2-1}}-\dfrac{1}{{{2^{n+1}}-1}}} \right)<\dfrac{3}{2}.$$
答案
解析
备注
