已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $1$，并且 $\sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
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证明：$\triangle ABC$ 是直角三角形；标注答案略解析由题可知\[\begin{split}0&=\sin2A+\sin2B-4\sin A\sin B\\&=2\sin(A+B)\cos(A-B)-2[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\\&=2\sin C\cos(A-B)-2[\cos(A-B)+\cos C]\\&=-2\cos(A-B)\left(1-2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}\right)-2\left(\cos^2\dfrac{C}{2}-\sin^2\dfrac{C}{2}\right)\\&=-2\cos(A-B)\left(\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right)^2-2\left(\cos\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\right)\left(\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right)\\&=-2\left[\cos(A-B)\left(\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right)+\left(\cos\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\right)\right]\left(\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right),\end{split}\]其中$$\begin{split}&\cos(A-B)\left(\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right)+\left(\cos\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\right)\\\geqslant&\left(\cos\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\right)-\left|\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}\right|>0,\end{split}$$因此$$\cos\dfrac{C}{2}-\sin\dfrac{C}{2}=0.$$由 $0<C<\pi$，得 $\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi}{4}$，故 $C=\dfrac{\pi}{2}$．
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求 $\triangle ABC$ 的面积的最大值．标注答案$\dfrac{3-2\sqrt2}{4}$解析设 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的直角边长 $a,b$．
由题设和平均不等式，得\[1=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geqslant(2+\sqrt2)\sqrt{ab},\]所以$$ab\leqslant\left(\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{3-2\sqrt2}{2},$$当 $a=b=\dfrac{1}{2+\sqrt2}$ 时，等号成立．
因此当 $a=b=\dfrac{1}{2+\sqrt2}$ 时，$\triangle ABC$ 的面积 $S=\dfrac12ab$ 取得最大值 $\dfrac{3-2\sqrt2}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
