设 $n=2^m$，$m$ 是正整数，求所有满足 $f(x^2+1)=f^2(x)+1$ 的 $n$ 次实系数多项式 $f(x)$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$g(x)=x^2+1,f(x)=\underbrace{g(g(\cdots g(x)\cdots))}_{m\text{重}}$
【解析】
设$$g(x)=x^2+1,f(x)=\underbrace{g(g(\cdots g(x)\cdots))}_{m\text{重}},$$则有 $f(g(x))=g(f(x))$ 且 $f(x)$ 是 $2^m$ 次多项式，故 $f(x)$ 是所求多项式中的一个解．
下面证明所求多项式 $f(x)$ 是唯一的．
首先，设 $a$ 是 $f(x)$ 的 $x^n$ 的系数，则 $f(x^2+1)$ 和 $f(x)^2+1$ 的 $x^n$ 项系数分别是 $a$ 和 $a^2$，由此得 $a=1$．
其次，假设 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 都满足题设条件且 $f_1(x)\ne f_2(x)$，则有$$f_1(x^2+1)-f_2(x^2+1)=(f_1(x)+f_2(x))(f_1(x)-f_2(x))\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$因为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的次数 $k<n$，所以$$f_1(x^2+1)-f_2(x^2+1)=h(x^2+1)$$是 $2k$ 次多项式，这与 $\text{ ① }$ 矛盾，唯一性证毕．
下面证明所求多项式 $f(x)$ 是唯一的．
首先，设 $a$ 是 $f(x)$ 的 $x^n$ 的系数，则 $f(x^2+1)$ 和 $f(x)^2+1$ 的 $x^n$ 项系数分别是 $a$ 和 $a^2$，由此得 $a=1$．
其次，假设 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 都满足题设条件且 $f_1(x)\ne f_2(x)$，则有$$f_1(x^2+1)-f_2(x^2+1)=(f_1(x)+f_2(x))(f_1(x)-f_2(x))\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$因为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的次数 $k<n$，所以$$f_1(x^2+1)-f_2(x^2+1)=h(x^2+1)$$是 $2k$ 次多项式，这与 $\text{ ① }$ 矛盾，唯一性证毕．
答案
解析
备注
