设 $f\left( x \right) = {x^2} + ax + b$，$g\left( x \right) = {x^2} + cx + d$，如果方程 $f\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)$ 没有实根，求证：$b \ne d$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
展开 $f(g(x))-g(f(x))$ 后没有 $x^4$ 项，$x^3$ 项的系数为 $2c-2a$．由于三次方程必然有实根，因此 $2c-2a=0$，从而 $a=c$．于是 $b\neq d$，否则 $f(x)=g(x)$，原方程有无数实根．
答案
解析
备注
