求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left[n^2\left(\sqrt [n]{a}-\sqrt [n+1]{a}\right)\right]$，其中 $a>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\ln a$
【解析】
当 $a>1$ 时，考虑函数 $y=a^x$ 在区间 $\left[\dfrac{1}{n+1},\dfrac 1n\right]$ 之间的部分，有不等式\[\left.\left(a^x\right)'\right|_{x=\frac{1}{n+1}}<\dfrac{a^{\frac 1n}-a^{\frac 1{n+1}}}{\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}}<\left.\left(a^x\right)'\right|_{x=\frac 1n},\]进而不难得到\[\lim\limits_{n\to\infty}\left[n^2\left(\sqrt [n]{a}-\sqrt [n+1]{a}\right)\right]=\ln a.\]类似的，可得当 $0<a<1$ 时，亦有相同的结论．
答案
解析
备注
