设 $n\geqslant 2$，对平面上的任意 $n$ 个向量 $\overrightarrow{\alpha_1},\overrightarrow{\alpha_2},\cdots,\overrightarrow{\alpha_n}$，以 $M$ 表示满足 $i<j$ 且 $\overrightarrow{a_i}\cdot \overrightarrow{a_j}<0$ 的实数对 $(i,j)$ 的个数．证明：$M\leqslant\dfrac{n^2}{3}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设在向量 $\overrightarrow{\alpha_1},\overrightarrow{\alpha_2},\cdots,\overrightarrow{\alpha_n}$ 中存在 $\overrightarrow{\alpha}_i\ne\overrightarrow{\alpha}_j$ 且 $\overrightarrow{\alpha}_i\cdot\overrightarrow{\alpha}_j\geqslant0$．
设 $N_1$ 是满足 $\overrightarrow{\alpha_i}\cdot\overrightarrow{\alpha_k}<0$ 的 $k$ 的个数，$N_2$ 是满足 $\overrightarrow{\alpha_j}\cdot\overrightarrow{\alpha_k}<0$ 的 $k$ 的个数．
当 $N_1<N_2$ 时，我们把 $\overrightarrow{\alpha_i}$ 换成 $\overrightarrow{\alpha_j}$；否则，把 $\overrightarrow{\alpha_j}$ 换成 $\overrightarrow{\alpha_i}$．
记替换后所得的向量为 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_2}},\cdots,\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$，$\hat{M}$ 是满足 $i<j$ 且 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}\cdot\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}<0$ 的实数对 $(i,j)$ 的个数，则有 $\hat{M}\geqslant M$．
由以上过程可知，存在 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_2}},\cdots,\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$ 使得 $\hat{M}\geqslant M$ 并且对于任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$ 都有 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}=\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}$ 或者 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}\cdot\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}<0$．
由于两两夹角为钝角的平面向量至多 $3$ 个，不妨设 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_n}},\cdots\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$ 由 $x$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}}$，$y$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_2}}$ 和 $z$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_3}}$ 组成，于是$$x+y+z=n.$$结合平均不等式$$x^2+y^2+z^2\geqslant\dfrac13(x+y+z)^2=\dfrac{n^2}{3},$$得$$\begin{split}M&\leqslant \hat{M}=xy+yz+zx\\&=\dfrac12[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]\\&\leqslant\dfrac{n^2}{3}.\end{split}$$
设 $N_1$ 是满足 $\overrightarrow{\alpha_i}\cdot\overrightarrow{\alpha_k}<0$ 的 $k$ 的个数，$N_2$ 是满足 $\overrightarrow{\alpha_j}\cdot\overrightarrow{\alpha_k}<0$ 的 $k$ 的个数．
当 $N_1<N_2$ 时，我们把 $\overrightarrow{\alpha_i}$ 换成 $\overrightarrow{\alpha_j}$；否则，把 $\overrightarrow{\alpha_j}$ 换成 $\overrightarrow{\alpha_i}$．
记替换后所得的向量为 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_2}},\cdots,\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$，$\hat{M}$ 是满足 $i<j$ 且 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}\cdot\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}<0$ 的实数对 $(i,j)$ 的个数，则有 $\hat{M}\geqslant M$．
由以上过程可知，存在 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_2}},\cdots,\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$ 使得 $\hat{M}\geqslant M$ 并且对于任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$ 都有 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}=\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}$ 或者 $\hat{\overrightarrow{\alpha_i}}\cdot\hat{\overrightarrow{\alpha_j}}<0$．
由于两两夹角为钝角的平面向量至多 $3$ 个，不妨设 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}},\hat{\overrightarrow{\alpha_n}},\cdots\hat{\overrightarrow{\alpha_n}}$ 由 $x$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_1}}$，$y$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_2}}$ 和 $z$ 个 $\hat{\overrightarrow{\alpha_3}}$ 组成，于是$$x+y+z=n.$$结合平均不等式$$x^2+y^2+z^2\geqslant\dfrac13(x+y+z)^2=\dfrac{n^2}{3},$$得$$\begin{split}M&\leqslant \hat{M}=xy+yz+zx\\&=\dfrac12[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]\\&\leqslant\dfrac{n^2}{3}.\end{split}$$
答案
解析
备注
