已知函数 $f(x)$ 满足 $\forall x\in {\mathbb R},\left|f(x)\right|\leqslant 1$，且 $\forall a,b\in{\mathbb R},f(ab)=af(b)+bf(a)$．求证：$f(x)\equiv 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然 $f(0)=0$．若存在 $f(m)\neq 0$ 且 $m\neq 0$，则$$f\left(m^2\right)=2mf(m),$$进而可得$$\left|f\left(m^{2^n}\right)\right|=2^n\cdot |m|^{2^n-1}\cdot \left|f(m)\right|,$$结合 $f(x)$ 的有界性推出矛盾．
答案
解析
备注
