求 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt [n]{n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
显然 $\sqrt [n]{n}\geqslant 1$．当 $n\geqslant 2$ 时，设 $\sqrt [n]{n}=1+x$，则$$n=(1+x)^n\geqslant 1+\dfrac 12n(n-1)x^2,$$从而有 $x\leqslant \sqrt{\dfrac {2}{n}}$．因此有$$1\leqslant \sqrt [n]{n}\leqslant 1+\sqrt{\dfrac 2n},$$由夹逼判敛法可得 $\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt [n]{n}=1$．
答案
解析
备注
