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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26378 597ee178d05b90000c805986 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{{3^n}} {\dfrac{{\ln k}}{k}}<{3^n}-\dfrac{{5n+6}}{6}$． 2022-04-17 20:23:54
26377 5913fb20e020e7000a798d03 初中 解答题 其他 在直角坐标系 $ xOy $ 中 $ ,A\left(0,2\right) $，$ B\left(-1,0\right) $，将 $ \triangle ABO $ 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的 $ \triangle BCD $． 2022-04-17 20:23:54
26376 597ee2eed05b90000b5e327f 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle\prod\limits_{k=1}^n {\left( {{{\rm{e}}^k}+{{\rm{e}}^{-k}}} \right)}>{\left( {{{\rm{e}}^{n+1}}+2} \right)^{\frac{n}{2}}}$． 2022-04-17 20:22:54
26375 597ee35ed05b90000c805994 高中 解答题 高中习题 给出 ${\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^n}$（$n \geqslant 2$）的一个多项式下界． 2022-04-17 20:22:54
26374 597ee3e1d05b90000b5e3285 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \dfrac{n}{{2n+1}} \leqslant \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{3^k}}}}<\dfrac{1}{2}$． 2022-04-17 20:21:54
26373 5927d95250ce84000aaca991 高中 解答题 高考真题 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \mid X = \left({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ 0,1\right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$，对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots , {a_n} \right)$，$B = \left({b_1},{b_2}, \cdots {b_n},\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left(|{a_1} - {b_1}|,|{a_2} - {b_2}|, \cdots ,|{a_n} - b_n|\right)$；$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} |{a_i} - {b_i}|$． 2022-04-17 20:20:54
26372 590a77746cddca00078f37d0 初中 解答题 真题 如图，二次函数 $y=-x^2-2x+3$ 经过点 $A\left(- 3,0\right)$，点 $C\left(0,3\right)$，点 $D$ 为二次函数的顶点，$DE$ 为二次函数的对称轴，$E$ 在 $x$ 轴上，$DE$ 的左侧抛物线上是否存在点 $F$，使 $2S_{\triangle FBC}=3 S_{\triangle EBC}$，若存在求出点 $F$ 的坐标，若不存在请说明理由． 2022-04-17 20:20:54
26371 596c0a2422d14000072f8574 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 长轴上一个动点，过 $P$ 点斜率为 $k$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点．若 $|PA|^2+|PB|^2$ 的值仅依赖于 $k$ 而与 $P$ 无关，求 $k$ 的值． 2022-04-17 20:19:54
26370 5927da2f50ce840009d7709c 高中 解答题 高考真题 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数． 2022-04-17 20:19:54
26369 597ee864d05b90000addb4c9 高中 解答题 高中习题 求证：当 $x \leqslant n$ 时，$n - n{\left( {1 - \dfrac{x}{n}} \right)^n}{{\rm{e}}^x} \leqslant {x^2}$． 2022-04-17 20:18:54
26368 591551b21edfe200082e9ad8 初中 解答题 其他 如图，已知抛物线 $y=a\left(x+3\right)\left(x-9\right)$ 经过点 $A\left(-3,0\right)$，$B\left(9,0\right)$ 和 $C\left(0,4\right)$．$CD$ 垂直于 $y$ 轴，交抛物线于点 $D$，$DE$ 垂直与 $x$ 轴，垂足为 $E$，$l$ 是抛物线的对称轴，点 $F$ 是抛物线的顶点．若 $\mathrm {Rt}\triangle AOC$ 沿 $x$ 轴向右平移到其直角边 $OC$ 与对称轴 $l$ 重合，再沿对称轴 $l$ 向上平移到点 $C$ 与点 $F$ 重合，得到 $\mathrm {Rt}\triangle A_1O_1F$，求此时 $\mathrm {Rt}\triangle A_1O_1F$ 与矩形 $OCDE$ 重叠部分的图形的面积． 2022-04-17 20:18:54
26367 597ee8c9d05b90000addb4d0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z>0$，求证：$x^xy^yz^z\geqslant x^yy^zz^x$． 2022-04-17 20:17:54
26366 596c0a2422d14000072f8575 高中 解答题 自招竞赛 设 $p,q\in\mathbb Z^+$，且 $q\leqslant p^2$．试证对 $n\in\mathbb Z^+$，存在 $N\in\mathbb Z^+$，使$$(p-\sqrt{p^2-q})^n=N-\sqrt{N^2-q^n},$$且$$(p+\sqrt{p^2-q})^n=N+\sqrt{N^2-q^n}.$$ 2022-04-17 20:17:54
26365 596c0bc822d14000091d72fc 高中 解答题 自招竞赛 设 $i_1,i_2,\cdots,i_{10}$ 为 $1,2,\cdots,10$ 的一个排列，记$$S=|i_1-i_2|+|i_3-i_4|+\cdots+|i_9-i_{10}|,$$求 $S$ 可以取到的所有值． 2022-04-17 20:17:54
26364 5927dcf050ce840007247aa9 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right) = x^3 -x$，其图象记为曲线 $ C$．
（i）求函数 $f \left(x\right) $ 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ${ x _1}$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_1}\left({x_1},f\left({x_1}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_3}\left({x_3},f\left({x_3}\right)\right)$，线段 $P_1P_2,P_2P_3 $ 与曲线 $ C $ 所围成封闭图形的面积分别记为 $ {S_1}, S _ 2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2} $ 为定值；		 2022-04-17 20:16:54
26363 597ec3cdd05b90000916525a 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1}=1$，${a_{n+1}}=c-\dfrac{1}{{{a_n}}}$． 2022-04-17 20:15:54
26362 590a77436cddca0008610cc2 初中 解答题 真题 如图，已知抛物线 $y=\dfrac 12x^2-\dfrac 32x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$，点 $P$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一个动点（点 $P$ 与点 $C$ 重合），连接 $PB,PC$．设 $\triangle PBC$ 的面积为 $S$． 2022-04-17 20:14:54
26361 5927ddc950ce840007247ab0 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c - \dfrac{1}{a_n}$． 2022-04-17 20:14:54
26360 5927ded950ce84000aaca9a0 高中 解答题 高考真题 已知首项为 $x_{1}$ 的数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n+1}=\dfrac{ax_{n}}{x_{n}+1}$（$a$ 为常数）． 2022-04-17 20:14:54
26359 597eeff9d05b90000addb4ee 高中 解答题 高考真题 设 $f\left(x\right) = \dfrac{{1 + {a^x}}}{{1 - {a^x}}} \left(a > 0 且 a \ne 1\right)$，$ g\left(x\right) $ 是 $ f\left(x\right) $ 的反函数． 2022-04-17 20:13:54
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