如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=-\dfrac 6 x $ 的图象在第二象限交于点 $C$，$CE\perp x$ 轴，垂足为点 $E $，$ \tan \angle ABO=\dfrac 1 2 $，$ OB=4$，$ OE=2$．若点 $D$ 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 $D$ 作 $DF\perp y$ 轴，垂足为点 $F$，连接 $OD , BF$，如果 $S_{\triangle BAF}=4S_{\triangle DFO}$，求点 $D$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ D\left(\dfrac 3 2 ,-4\right) $
【解析】
设点 $ D $ 的坐标为 $ \left(a,b\right) $，
因为 $S_{\triangle BAF}=4S_{\triangle DFO}$，
所以 $ \dfrac 1 2 AF\cdot OB=4\times \dfrac 1 2 OF\cdot FD $
$ \left(AO+OF\right)OB=4OF\cdot FD $
$ \left[2+\left(-b\right)\right]\times 4=-4ab $
$ 8-4b=-4ab $．
又因为点 $ D $ 在反比例函数图象上，
所以 $ b=-\dfrac 6 a $，
所以 $ ab=-6 $，
所以 $ 8-4b=24 $，
解得 $ b=-4 $．
把 $ b=-4 $ 代入 $ b=-\dfrac 6 a $ 中，
解得 $ a=\dfrac 3 2 $，
所以 $ D\left(\dfrac 3 2 ,-4\right) $．
因为 $S_{\triangle BAF}=4S_{\triangle DFO}$，
所以 $ \dfrac 1 2 AF\cdot OB=4\times \dfrac 1 2 OF\cdot FD $
$ \left(AO+OF\right)OB=4OF\cdot FD $
$ \left[2+\left(-b\right)\right]\times 4=-4ab $
$ 8-4b=-4ab $．
又因为点 $ D $ 在反比例函数图象上，
所以 $ b=-\dfrac 6 a $，
所以 $ ab=-6 $，
所以 $ 8-4b=24 $，
解得 $ b=-4 $．
把 $ b=-4 $ 代入 $ b=-\dfrac 6 a $ 中，
解得 $ a=\dfrac 3 2 $，
所以 $ D\left(\dfrac 3 2 ,-4\right) $．
答案
解析
备注
