设无穷数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{a_{n-1}}(n\geqslant2)$．证明：
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
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当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n\geqslant\sqrt{2n}$；标注答案略解析当 $n\geqslant2$ 时，由 $a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{a_{n-1}}$ 得$$a_n^2=2+a_{n-1}^2+\dfrac{1}{a_{n-1}^2},$$从而$$a_n^2=2(n-1)+a_1^2+\dfrac{1}{a_1^2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n-1}^2},$$因此$$a_n^2\geqslant2(n-1)+a_1^2+\dfrac{1}{a_1^2}=2n.$$
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不存在实数 $C$ 使得 $a_n<\sqrt{2n+C}$ 对所有 $n$ 都成立．标注答案略解析反证法．
假设存在常数 $C$ 使得 $a_n\leqslant\sqrt{2n+C}$ 恒成立．不妨设 $C=2^M$，$M$ 是正整数．
当 $n=2^N+1$（$N$ 是充分大的正整数）时，有\[\begin{split}a_n^2&=2n+\dfrac{1}{a_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n-1}^2}\\&>2n+\sum\limits_{k=2}^{n-1}{\dfrac{1}{2k+C}}\\&=2n+\sum\limits_{t=0}^{N-1}{\sum\limits_{k=2^t+1}^{2^{t+1}}{\dfrac{1}{2k+C}}}\\&>2n+\sum\limits_{t=M}^{N-1}{\sum\limits_{k=2^t+1}^{2^{t+1}}{\dfrac{1}{2^{t+2}+C}}}\\&>2n+\sum\limits_{t=M}^{N-1}{\dfrac{2^t}{2^{t+2}+C}}\\&>2n+\dfrac{N-M}{5},\end{split}\]因为 $N$ 可以足够大，使得$$\dfrac {N-M}{5}>C,$$所以这与 $a_n^2<2n+C$ 矛盾，假设不成立，故这样的 $C$ 不存在．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
