求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {\sqrt {k\left( {k+1} \right)} }<\dfrac{{n\sqrt {{n^2}+4n+3} }}{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用不等式处理\[\sum\limits_{k=1}^n {\sqrt {k\left( {k+1} \right)} } <\sqrt {\sum\limits_{k=1}^n k \cdot \sum\limits_{k=1}^n {\left( {k+1} \right)} } =\sqrt {\dfrac{{n\left( {n+1} \right)}}{2} \cdot \dfrac{{n\left( {n+3} \right)}}{2}} =\dfrac{{n\sqrt {{n^2}+4n+3} }}{2},\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
