已知二次函数 $y = {x^2} + bx + c$（$b$，$c$ 为常数）．当 $c=b^2$ 时，若在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为 $21$，求此时二次函数的解析式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$b=\sqrt 7$ 时，二次函数的解析式为 $y=x^2+\sqrt 7x+7$；
$b=-4$ 时，二次函数解析式为 $y=x^2-4x+16$
$b=-4$ 时，二次函数解析式为 $y=x^2-4x+16$
【解析】
当 $c=b^2$ 时，二次函数的解析式为 $y=x^2+bx+b^2$．
它的图象是开口向上，对称轴为 $x=-\dfrac b2$ 的抛物线．
① 若 $-\dfrac b2<b$，即 $b>0$，
在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
故当 $x=b$ 时，$y=b^2+b\cdot b+b^2=3b^2$ 为最小值．
所以 $3b^2=21$，解得 $b_1=-\sqrt 7$（舍），$b_2=\sqrt 7$；
② 若 $b\leqslant -\dfrac b2\leqslant b+3$，即 $-2\leqslant b\leqslant 0$，
当 $x=-\dfrac b2$ 时，$y=\left(-\dfrac b2\right)^2+b\cdot \left(-\dfrac b2\right)+b^2=\dfrac 34b^2$ 为最小值．
所以 $\dfrac 34b^2=21$，解得 $b_1=-2\sqrt 7$（舍），$b_2=2\sqrt 7$（舍）；
③ 若 $-\dfrac b2>b+3$，即 $b<-2$，
在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，
故当 $x=b+3$ 时，$y=\left(b+3\right)^2+b\left(b+3\right)+b^2=3b^2+9b+9$ 为最小值．
所以 $3b^2+9b+9=21$，即 $b^2+3b-4=0$．
解得 $b_1=1$（舍），$b_2=-4$．
综上所述，$b=\sqrt 7$ 时，二次函数的解析式为 $y=x^2+\sqrt 7x+7$；
$b=-4$ 时，二次函数解析式为 $y=x^2-4x+16$．
它的图象是开口向上，对称轴为 $x=-\dfrac b2$ 的抛物线．
① 若 $-\dfrac b2<b$，即 $b>0$，
在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
故当 $x=b$ 时，$y=b^2+b\cdot b+b^2=3b^2$ 为最小值．
所以 $3b^2=21$，解得 $b_1=-\sqrt 7$（舍），$b_2=\sqrt 7$；
② 若 $b\leqslant -\dfrac b2\leqslant b+3$，即 $-2\leqslant b\leqslant 0$，
当 $x=-\dfrac b2$ 时，$y=\left(-\dfrac b2\right)^2+b\cdot \left(-\dfrac b2\right)+b^2=\dfrac 34b^2$ 为最小值．
所以 $\dfrac 34b^2=21$，解得 $b_1=-2\sqrt 7$（舍），$b_2=2\sqrt 7$（舍）；
③ 若 $-\dfrac b2>b+3$，即 $b<-2$，
在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，
故当 $x=b+3$ 时，$y=\left(b+3\right)^2+b\left(b+3\right)+b^2=3b^2+9b+9$ 为最小值．
所以 $3b^2+9b+9=21$，即 $b^2+3b-4=0$．
解得 $b_1=1$（舍），$b_2=-4$．
综上所述，$b=\sqrt 7$ 时，二次函数的解析式为 $y=x^2+\sqrt 7x+7$；
$b=-4$ 时，二次函数解析式为 $y=x^2-4x+16$．
答案
解析
备注
