证明：对任意实数 $a,b,c$ 都有\[\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}\geqslant \sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}}.\]并求等号成立的充分必要条件．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
要证$$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}\geqslant \sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}},$$只需证\[2a^{2}+a(b+c)+b^{2}+c^{2}+2\sqrt{(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}+ac+c^{2})}\geqslant 4a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2},\]即\[\sqrt{(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}+ac+c^{2})}\geqslant a^{2}+\dfrac{1}{2}a(b+c)+bc.\]要证上式，只需证\[(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}+ac+c^{2})\geqslant \left[a^{2}+\dfrac{1}{2}a(b+c)+bc\right]^{2},\]整理得\[\dfrac{3}{4}a^{2}(b^{2}+c^{2})\geqslant \dfrac{3}{2}a^{2}bc,\]即证\[a^{2}(b-c)^{2}\geqslant 0.\]不等式等号成立的必要条件是$$a(b-c)=0.$$当 $a=0$ 时，不等式等号成立等价于 $bc\geqslant 0$；当 $b=c$ 时，不等式等号成立．
综上，不等式等号成立的充分必要条件是“$a=0$，且 $bc\geqslant 0$”或“$b=c$”．
综上，不等式等号成立的充分必要条件是“$a=0$，且 $bc\geqslant 0$”或“$b=c$”．
答案
解析
备注
