已知二次函数 $ y=-x^2+2x+3 $ 的最大值为 $4$，且抛物线过点 $\left(\dfrac 7 2 ,-\dfrac 9 4 \right)$．点 $P\left(t,0\right)$ 是 $x$ 轴上的动点，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$，顶点为 $D$．设 $Q\left(0,2t\right)$ 是 $y$ 轴上的动点，若线段 $PQ$ 与函数 $y=a|x|^2-2a|x|+c$ 的图象只有一个公共点，求 $t$ 的取值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$t$ 的取值为 $\dfrac 3 2 \leqslant t<3$ 或 $t=\dfrac 7 2$ 或 $t\leqslant-3$
【解析】
$y=a|x|^2-2a|x|+c$ 的解析式可化为 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right).\end{cases}$
设该线段 $PQ$ 所在直线的方程为 $y=kx+b$．
将 $P\left(t,0\right)$，$Q\left(0,2t\right)$ 坐标代入得到线段 $PQ$ 的方程为 $y=-2x+2t$．
① 当线段 $P_1Q$ 过点 $\left(0,3\right)$，即点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，
线段 $PQ$ 与函数 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有一个公共点，此时 $t=\dfrac3 2$．
当线段 $P_2Q$ 过点 $\left(3,0\right)$ 时，$t=3$，
此时线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有两个公共点，
所以当 $\dfrac 3 2 \leqslant t<3$ 时，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有一个公共点．
② 当 $-2x+2t=-x^2+2x+3\left(x\geqslant 0\right)$ 时，有 $-x^2+4x+3-2t=0$．
令 $\Delta =16+4\left(3-2t\right)=0$，
解得 $t=\dfrac 7 2 >0$．
所以当 $t=\dfrac 7 2$ 时，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 只有一个公共点．
③ 当线段 $PQ$ 过点 $\left(-3,0\right)$ 时，线段 $PQ$ 只与 $y=-x^2-2x+3\left(x<0\right)$ 有一个公共点，此时 $t=-3$．
所以当 $t\leqslant -3$ 是，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 只有一个公共点．
综上所述，$t$ 的取值为 $\dfrac 3 2 \leqslant t<3$ 或 $t=\dfrac 7 2$ 或 $t\leqslant-3$．
设该线段 $PQ$ 所在直线的方程为 $y=kx+b$．
将 $P\left(t,0\right)$，$Q\left(0,2t\right)$ 坐标代入得到线段 $PQ$ 的方程为 $y=-2x+2t$．
① 当线段 $P_1Q$ 过点 $\left(0,3\right)$，即点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，
线段 $PQ$ 与函数 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有一个公共点，此时 $t=\dfrac3 2$．
当线段 $P_2Q$ 过点 $\left(3,0\right)$ 时，$t=3$，
此时线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有两个公共点，
所以当 $\dfrac 3 2 \leqslant t<3$ 时，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 有一个公共点．
② 当 $-2x+2t=-x^2+2x+3\left(x\geqslant 0\right)$ 时，有 $-x^2+4x+3-2t=0$．
令 $\Delta =16+4\left(3-2t\right)=0$，
解得 $t=\dfrac 7 2 >0$．
所以当 $t=\dfrac 7 2$ 时，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 只有一个公共点．
③ 当线段 $PQ$ 过点 $\left(-3,0\right)$ 时，线段 $PQ$ 只与 $y=-x^2-2x+3\left(x<0\right)$ 有一个公共点，此时 $t=-3$．
所以当 $t\leqslant -3$ 是，线段 $PQ$ 与 $y=\begin{cases}-x^2+2x+3\left(x\geqslant0\right),\\-x^2-2x+3\left(x<0\right)\end{cases}$ 只有一个公共点．
综上所述，$t$ 的取值为 $\dfrac 3 2 \leqslant t<3$ 或 $t=\dfrac 7 2$ 或 $t\leqslant-3$．
答案
解析
备注
