已知函数 $f(x)=x^2+ax+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac ax+b ( x \in \mathbb R,\text{且}x \neq 0)$．若实数 $a$，$b$ 使得 $f(x)=0$ 有实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac 45$
【解析】
将 $f(x)=x^2+ax+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac ax+b$ 改写为$$f(a,b)=\left(x+\dfrac 1x\right)a+b+\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right).$$令$$f(a,b)=\left(x+\dfrac 1x\right)a+b+\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)= 0.\quad\cdots\cdots \text{ ① } $$设 $M(a,b)$ 为直线 ① 上一点，则$$|OM|^2=a^2+b^2.$$又设原点到直线 ① 的距离为 $d$，那么\[\begin{split}d^2&=a^2+b^2=\dfrac {\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)^2}{\left(x+\dfrac 1{x }\right)^2+1}\\&=\dfrac {\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)^2-9+9}{ x^2+\dfrac 1{x^2 } +3}\\&= \left(x^2+\dfrac 1{x^2 } +3\right)+\dfrac {9}{x^2+\dfrac 1{x^2 } +3}-6.\end{split}\]再令 $t=x^2+\dfrac 1{x^2 } +3$，则 $t\geqslant 5$．
由于 $f(t)=t+\dfrac 9t-6$ 在 $t\in [5,+\infty)$ 上递增，故$$[f(t)]_{\min}=f(5)=\dfrac 45,$$因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$．
由于 $f(t)=t+\dfrac 9t-6$ 在 $t\in [5,+\infty)$ 上递增，故$$[f(t)]_{\min}=f(5)=\dfrac 45,$$因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$．
答案
解析
备注
