$\triangle ABC$ 的内切圆与三边相切于点 $D,E,F$．证明：$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 相似当且仅当 $\triangle ABC$ 是正三角形．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，则$$\angle FDE=\dfrac{1}{2}\angle FOE=\dfrac{\pi-C}{2}.$$不妨设 $A\geqslant B\geqslant C$，则\[\angle FDE\leqslant \angle DEF\leqslant EFD,\]从而 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 相似，所以$$\begin{cases}\angle FDE=C,\\ \angle DEF=B, \\\angle EFD=A,\end{cases}$$即\[\begin{cases}A+2C=\pi,\\ 3B=\pi ,\\ 2C+A=\pi,\end{cases}\]解得 $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$．
答案
解析
备注
