设 $n$ 是正整数，$2 \leqslant x_i \leqslant 8$，$i=1,2,\cdots,n$．
证明：$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \leqslant \left(\dfrac 54n\right)^2,$$并讨论何时等号成立．
证明：$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \leqslant \left(\dfrac 54n\right)^2,$$并讨论何时等号成立．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为\[\begin{split}LHS=&(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \\=& \left(\dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}\right)\left(\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n}\right)\\ \leqslant &\dfrac 14 \left(\dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}+\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n}\right)^2, \quad\cdots\cdots \text{ ① } \end{split}\]所以，只要证明：$$\dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}+\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n} \leqslant \dfrac 52n.$$令$$f(x)=\dfrac x4+\dfrac 4x, x\in [2,8].$$由$$f'(x)=\dfrac 14-\dfrac 4{x^2}=0,$$得 $x=4$．
因此，当 $x\in (2,4)$，$f'(x)<0$，$f(x)$ 为单调减函数；
当 $x\in (4,8)$，$f'(x)>0$，$f(x)$ 为单调增函数．
故$$f(x)\leqslant \max\{f(2),f(8)\}=\dfrac 52.$$于是 $f(x_i) \leqslant \dfrac 52$（$i=1,2,\cdots,n$），当且仅当 $x_i=2$ 或 $x_i=8$ 时，$f(x_i)=\dfrac 52$．
因此\[\begin{split} \dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}+\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n} =&f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\\ \leqslant &\dfrac 52+\dfrac 52+\cdots +\dfrac 52= \dfrac 52n,\end{split}\]所以$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \leqslant \left(\dfrac 54n\right)^2,$$要使$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) = \left(\dfrac 54n\right)^2,$$由 ①，② 知，必须有$$\begin{cases}\dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}=\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n},\\f(x_i)=\dfrac 52,x_i=2 \lor x_i=8,i=1,2,\cdots,n. \end{cases}$$设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中，有 $p$ 个等于 $2$，$q$ 个等于 $8$，则 $p+q=n$，且$$\dfrac 24\cdot p+\dfrac 84 \cdot q=\dfrac 42 \cdot p +\dfrac 48\cdot q.$$因此 $p=q$，$n=2p$，即 $n$ 为偶数．
而当 $n$ 为偶数时，且 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中一半取 $2$，一半取 $8$ 时等号成立．
故当 $n$ 为偶数时，且 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中一半取 $2$，一半取 $8$ 时等号成立．
因此，当 $x\in (2,4)$，$f'(x)<0$，$f(x)$ 为单调减函数；
当 $x\in (4,8)$，$f'(x)>0$，$f(x)$ 为单调增函数．
故$$f(x)\leqslant \max\{f(2),f(8)\}=\dfrac 52.$$于是 $f(x_i) \leqslant \dfrac 52$（$i=1,2,\cdots,n$），当且仅当 $x_i=2$ 或 $x_i=8$ 时，$f(x_i)=\dfrac 52$．
因此\[\begin{split} \dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}+\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n} =&f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\\ \leqslant &\dfrac 52+\dfrac 52+\cdots +\dfrac 52= \dfrac 52n,\end{split}\]所以$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \leqslant \left(\dfrac 54n\right)^2,$$要使$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) = \left(\dfrac 54n\right)^2,$$由 ①，② 知，必须有$$\begin{cases}\dfrac {x_1}{4}+\dfrac {x_2}{4}+\cdots +\dfrac {x_n}{4}=\dfrac {4}{x_1}+\dfrac {4}{x_2}+\cdots +\dfrac {4}{x_n},\\f(x_i)=\dfrac 52,x_i=2 \lor x_i=8,i=1,2,\cdots,n. \end{cases}$$设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中，有 $p$ 个等于 $2$，$q$ 个等于 $8$，则 $p+q=n$，且$$\dfrac 24\cdot p+\dfrac 84 \cdot q=\dfrac 42 \cdot p +\dfrac 48\cdot q.$$因此 $p=q$，$n=2p$，即 $n$ 为偶数．
而当 $n$ 为偶数时，且 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中一半取 $2$，一半取 $8$ 时等号成立．
故当 $n$ 为偶数时，且 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中一半取 $2$，一半取 $8$ 时等号成立．
答案
解析
备注
