已知整数 $m$ 满足 $6<m<20$，如果关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0$ 有有理根，求 $m$ 的值及方程的根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m=12$ 时方程有有理根，此时方程的根为 $x_1=\dfrac 23$，$x_2=\dfrac 54$
【解析】
若原方程的根为有理数，
则 $\Delta=(2m-1)^2-4m(m-2)=4m+1$ 应是某个有理数的平方．
而 $6<m<20$，
所以 $25<4m+1<81$．
又 $4m+1$ 是奇数，
所以 $4m+1=49$，即 $m=12$．
所以原方程变为 $12x^2-23x+10=0$，
解得 $x_1=\dfrac 23$，$x_2=\dfrac 54$．
故 $m=12$ 时方程有有理根，此时方程的根为 $x_1=\dfrac 23$，$x_2=\dfrac 54$．
则 $\Delta=(2m-1)^2-4m(m-2)=4m+1$ 应是某个有理数的平方．
而 $6<m<20$，
所以 $25<4m+1<81$．
又 $4m+1$ 是奇数，
所以 $4m+1=49$，即 $m=12$．
所以原方程变为 $12x^2-23x+10=0$，
解得 $x_1=\dfrac 23$，$x_2=\dfrac 54$．
故 $m=12$ 时方程有有理根，此时方程的根为 $x_1=\dfrac 23$，$x_2=\dfrac 54$．
答案
解析
备注
