证明：对任意实数 $a,b,c$ 都有\[\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}\geqslant \sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}}.\]并求等号成立的充分必要条件．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设向量 $\overrightarrow{\alpha} =\left(a+\dfrac{b}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2}b\right)$，$\overrightarrow{b}=\left(a+\dfrac{c}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2}c\right)$，则\[\begin{split}\left|\overrightarrow {\alpha}\right|+\left|\overrightarrow {\beta}\right|&=\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}},\\ \left|\overrightarrow {\alpha}+\overrightarrow {\beta}\right|&=\sqrt{\left(2a+\dfrac{b+c}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}(b+c)^{2}}\\&=\sqrt {4a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}}\\&=\sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}}.\end{split}\]根据三角不等式，$$\left|\overrightarrow {\alpha}\right|+\left|\overrightarrow {\beta}\right|\geqslant \left|\overrightarrow {\alpha}+\overrightarrow {\beta}\right|$$即得所要证的不等式，不等式等号成立的充分必要条件是 $\overrightarrow{\alpha}$ 与 $\overrightarrow{\beta}$ 平行且方向相同．
$\overrightarrow{\alpha}$ 与 $\overrightarrow{\beta}$ 平行，即\[\left(a+\dfrac{b}{2}\right)c=\left(a+\dfrac{c}{2}\right)b,\]整理得\[a(b-c)=0.\]当 $a=0$ 时，不等式等号成立等价于 $bc\geqslant 0$；当 $b=c$ 时，不等式等号成立．
综上，不等式等号成立的充分必要条件是“$a=0$，且 $bc\geqslant 0$”或“$b=c$”．
$\overrightarrow{\alpha}$ 与 $\overrightarrow{\beta}$ 平行，即\[\left(a+\dfrac{b}{2}\right)c=\left(a+\dfrac{c}{2}\right)b,\]整理得\[a(b-c)=0.\]当 $a=0$ 时，不等式等号成立等价于 $bc\geqslant 0$；当 $b=c$ 时，不等式等号成立．
综上，不等式等号成立的充分必要条件是“$a=0$，且 $bc\geqslant 0$”或“$b=c$”．
答案
解析
备注
