已知函数 $ y_1=ax^2+bx $，$ y_2=ax+b\left(ab\neq 0\right) $．在同一平面直角坐标系中．若函数 $ y_2 $ 的图象经过 $ y_1 $ 的顶点．当 $ 1<x<\dfrac{3}{ 2} $ 时，比较 $ y_1 $，$ y_2 $ 的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a>0$ 时，$y_1<y_2$；当 $a<0$ 时，$y_1>y_2$
【解析】
因为函数 $y_1$ 的图象的顶点坐标为 $\left(-\dfrac{b}{ 2a},\dfrac{-b^2}{ 4a}\right)$，
所以 $a\left(-\dfrac{b}{ 2a}\right)+b=\dfrac{-b^2}{ 4a}$，即 $b=\dfrac{-b^2}{2a}$，
因为 $ab\neq 0$，所以 $b=-2a$．
因为 $y_1=ax\left(x-2\right)$，$y_2=a\left(x-2\right)$，
所以 $y_1-y_2=a\left(x-2\right)\left(x-1\right)$．
因为 $1<x<\dfrac{3}{ 2}$，
所以 $x-2<0$，$x-1>0$，
所以 $\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0$．
所以当 $a>0$ 时，$a\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0$，即 $y_1<y_2$；
当 $a<0$ 时，$a\left(x-2\right)\left(x-1\right)>0$，即 $y_1>y_2$．
所以 $a\left(-\dfrac{b}{ 2a}\right)+b=\dfrac{-b^2}{ 4a}$，即 $b=\dfrac{-b^2}{2a}$，
因为 $ab\neq 0$，所以 $b=-2a$．
因为 $y_1=ax\left(x-2\right)$，$y_2=a\left(x-2\right)$，
所以 $y_1-y_2=a\left(x-2\right)\left(x-1\right)$．
因为 $1<x<\dfrac{3}{ 2}$，
所以 $x-2<0$，$x-1>0$，
所以 $\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0$．
所以当 $a>0$ 时，$a\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0$，即 $y_1<y_2$；
当 $a<0$ 时，$a\left(x-2\right)\left(x-1\right)>0$，即 $y_1>y_2$．
答案
解析
备注
