已知 $b,c \in \mathbb R$，二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 在 $(0,1)$ 上与 $x$ 轴有两个不同的交点，求 $c^2+(1+b)c$ 的取值范围
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$0< (1+b)c+c^2 <\dfrac {1}{16} $
【解析】
令 $r$，$s$ 为二次函数的两个零点，则$$f(x)=(x-r)(x-s).$$从而$$c=f(0)=rs,1+b+c=f(1)=(1-r)(1-s)(r,s \in (0,1)),$$所以$$\begin{split}0&<c^2+(1+b)c=f(0)f(1)\\ &=rs(1-r)(1-s)\\ &<\left(\dfrac {r+1-r}{2}\right)^2\left(\dfrac {s+1-s}{2}\right)^2\\ &=\dfrac {1}{16}.\end{split}$$综上知，$0< (1+b)c+c^2 <\dfrac {1}{16} $．
答案
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备注
