若抛物线 $y=x^2-\left(m-3\right)x-m$ 与 $x$ 轴交于 $A\left(x_1,0\right),B\left(x_2,0\right)$ 两点，则 $A,B$ 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：$AB={\left|{x_1-x_2}\right|}$）
（友情提示：$AB={\left|{x_1-x_2}\right|}$）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在最小值，最小值为 $AB=\sqrt 8=2\sqrt 2$
【解析】
因为 $AB={\left|{x_1-x_2}\right|}$，
所以 $AB^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2$．
由题意可得 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-(m-3)x-m=0$ 的两个根，
所以 $x_1+x_2=m-3$，$x_1x_2=-m$．
从而 $AB^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-m\right)=\left(m-1\right)^2+8$．
当 $m=1$ 时，$AB^2$ 有最小值 $8$．
所以 $AB$ 有最小值，最小值为 $AB=\sqrt 8=2\sqrt 2$．
所以 $AB^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2$．
由题意可得 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-(m-3)x-m=0$ 的两个根，
所以 $x_1+x_2=m-3$，$x_1x_2=-m$．
从而 $AB^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-m\right)=\left(m-1\right)^2+8$．
当 $m=1$ 时，$AB^2$ 有最小值 $8$．
所以 $AB$ 有最小值，最小值为 $AB=\sqrt 8=2\sqrt 2$．
答案
解析
备注
