已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，且 $a_{n+1}=2a_n+1$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2^n-1$解析由 $a_{n+1}=2a_n+1$，得$$a_{n+1}+1=2(a_n+1),$$所以数列 $\{a_n+1\}$ 是一个以 $a_1+1=2$ 为首项，$q=2$ 为公比的等比数列．
故 $a_n+1=2^n$，即$$a_n=2^n-1.$$ -
设数列 $\{\sqrt n(a_n+1)\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$$S_n^2\leqslant \dfrac {2n(n+1)(4^n-1)}{3}.$$标注答案略解析因为$$\sqrt n(a_n+1)=\sqrt n 2^n,$$所以$$S_n=1\times 2^1+\sqrt 2\times 2^2+\cdots+\sqrt n\times 2^n,$$由柯西不等式得\[\begin{split}S_n^2&=(1\times 2^1+\sqrt 2\times 2^2+\cdots+\sqrt n\times 2^n)^2\\&\leqslant (1+2+\cdots +n)(2^2+2^4+\cdots+2^{2n})\\&=\dfrac {n(1+n)}{2}\times \dfrac {4(1-4^n)}{1-4}\\&=\dfrac {2n(n+1)(4^n-1)}{3}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
