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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19978 5cdd250d210b28021fc7638a 高中 解答题 自招竞赛 设曲线 $C:|x^2-16y|=256-16|y|$ 所围成的封闭区域为 $D$． 2022-04-17 19:27:55
19977 5cde656b210b28021fc7641a 高中 解答题 自招竞赛 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=4$，过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交于点 $A,B$，与 $x$ 轴交于点 $Q$．设 $\overrightarrow{QA}=\lambda\overrightarrow{PA},\overrightarrow{OB}=\mu\overrightarrow{PB}$，求证：$\lambda+\mu$ 为定值． 2022-04-17 19:27:55
19976 5cde676e210b28021fc76421 高中 解答题 自招竞赛 如图，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 的内心分别为 $I_1$ 和 $I_2$，直线 $I_1I_2$ 分别与 $AC,BD$ 交于点 $M,N$，求证：$PM=PN$． 2022-04-17 19:26:55
19975 5cde685e210b28021fc76426 高中 解答题 自招竞赛 从 $1,2,3,\cdots,2050$ 这 $2050$ 个数中任取 $2018$ 个组成集合 $A$，把 $A$ 中的每个数染上红色或蓝色．求证：总存在一种染色方法，使得有 $600$ 个红数及 $600$ 个蓝数满足下列两个条件：
① 这个 $600$ 红数的和等于这 $600$ 个蓝数的和；
② 这个 $600$ 红数的平方和等于这 $600$ 个蓝数的平方和．		 2022-04-17 19:26:55
19974 5ce35c91210b280220ed3117 高中 解答题 自招竞赛 已知 $(\sin\alpha,\sin\beta)$ 是函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^3+t^3}$ 和 $g(x)=3tx^2+(3t^2+1)x+t$ 的图像的公共点，求证：$|t|\leqslant 1$． 2022-04-17 19:25:55
19973 5ce35dd2210b280220ed311d 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$，过点 $P(2,2)$ 作直线 $l_1,l_2$ 与椭圆 $C$ 分别交于 $A,B$ 和 $C,D$，且直线 $l_1,l_2$ 的斜率互为相反数． 2022-04-17 19:25:55
19972 5ce35e47210b28021fc764af 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f_1(x)=\sqrt{x^2+48}$，当 $n\in\mathbf N^{\ast},n\geqslant 2$ 时，$f_n(x)=\sqrt{x^2+6f_{n-1}(x)}$．求方程 $f_n(x)=2x$ 的实数解． 2022-04-17 19:24:55
19971 5ce36f2b210b28021fc764fb 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是实数，并且对任意 $x\in[0,1]$，恒有 $|ax+b-\sqrt{1-x^2}|\leqslant\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 19:23:55
19970 5ce36fff210b280220ed3179 高中 解答题 自招竞赛 如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 $O$．过大圆上一点 $A$ 作小圆的切线 $AC$，切点为 $B$，点 $C$ 在大圆上，$D$ 为 $AB$ 的中点．$\triangle ACE$ 的顶点 $E$ 在小圆上，$AE$ 交小圆于 $F$．设 $CE,DF$ 的垂直平分线的交点 $P$ 在直线 $AC$ 上．求证：$CF\bot DF$． 2022-04-17 19:23:55
19969 5ce3893f210b28021fc76505 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $1<a_1<a_2<\cdots<a_{1009}<2018$，其中对任意的 $i\ne j$，$a_i$ 与 $a_j$ 的最小公倍数均大于2018，证明：$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{1009}}<\dfrac{7}{6}$． 2022-04-17 19:22:55
19968 5ce38a6a210b28021fc7650b 高中 解答题 自招竞赛 旺达先生经常忘记该记住的数字，如朋友的手机号，保险柜的密码等等，为此厂家专门为他设计了办公室保险柜的密码锁．此密码锁的密码是三位数，但只要输入的三位数中有两个数位上的数字正确，保险柜的锁就会打开．旺达先生又忘记他设置的密码了．他至少要尝试多少次才能保证保险柜一定能打开？ 2022-04-17 19:22:55
19967 5ce3b780210b280220ed320a 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{9a_n+15}(n\in\mathbf N^{\ast})$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$． 2022-04-17 19:21:55
19966 5ce3b886210b28021fc7655e 高中 解答题 自招竞赛 过直线 $l:x-2y-20=0$ 上的点 $P$，作椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的切线 $PM,PN$，切点分别为 $M,N$，连结 $MN$． 2022-04-17 19:20:55
19965 5ce3b8c9210b280220ed3212 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b\in R$ 且 $3^a+11^b=16^a,6^a+8^b=13^b$，求证：$a<b$． 2022-04-17 19:19:55
19964 5ce4ba92210b28021fc765a8 高中 解答题 自招竞赛 已知定义在 $\mathbf R^{\ast}$ 上的函数 $f(x)=\begin{cases}
|\log_3x-1|,0<x\leqslant 9\\
4-\sqrt{x},x>9\\
\end{cases}$ 设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:19:55
19963 5ce4bb3c210b280220ed326e 高中 解答题 自招竞赛 已知实数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 满足：对任意正整数 $n$，有 $a_n(2S_n-a_n)=1$，其中 $S_n$ 表示数列的前 $n$ 项和．证明： 2022-04-17 19:18:55
19962 5ce4bbc9210b28021fc765ad 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $AB$ 是抛物线 $y^2=4x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦，$\triangle AOB$ 的外接圆交抛物线于点 $P$（不同于点 $O,A,B$）．若 $PF$ 平分 $\angle APB$，求 $|PF|$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:18:55
19961 5ce60ca9210b28021fc76667 高中 解答题 自招竞赛 已知定义在 $\mathbf R^{\ast}$ 上的函数 $f(x)$ 为 $f(x)=\begin{cases}
|\log_3x-1|,0<x\leqslant 9\\
4-\sqrt{x},x>9\\
\end{cases}$ 设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $abc$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:17:55
19960 5ce60df0210b280220ed3366 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A,B$ 与 $C,D$ 分别是椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右顶点与上下顶点．设 $P,Q$ 是 $\Gamma$ 上且位于第一象限的两点，满足 $OQ\parallel AP$，$M$ 是线段 $AP$ 的中点，射线 $OM$ 与椭圆交于点 $R$．
证明：线段 $OQ,OR,BC$ 能构成一个直角三角形．		 2022-04-17 19:17:55
19959 5ce4eb30210b28021fc765e3 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$，$A,B$ 均为正实数，满足 $a_i\leqslant b_i,a_i\leqslant A,i=1,2,\cdots,n$，且 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant\dfrac{B}{A}$．
证明：$\dfrac{(b_1+1)(b_2+1)\cdots(b_n+1)}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}\leqslant\dfrac{B+1}{A+1}$．		 2022-04-17 19:16:55
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