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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19938 5cee2bbf210b280220ed38dd 高中 解答题 高中习题 设 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 为复数，满足 $|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|=1$，求证：上述 $n$ 个复数中，必存在若干复数，他们的和的模不小于 $\dfrac{1}{6}$． 2022-04-17 19:04:55
19937 5cee2c4d210b28021fc76a55 高中 解答题 高中习题 任给定 $8$ 个非零实数 $a_1,a_2,\cdots,a_8$．证明：下面六个数 $a_1a_3+a_2a_4$，$a_1a_5+a_2a_6$，$a_3a_5+a_4a_6$，$a_3a_7+a_4a_8$，$a_5a_7+a_6a_8$ 中，至少有一个所非负的． 2022-04-17 19:03:55
19936 5cee2ce2210b280220ed38e6 高中 解答题 高中习题 已知 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0$．求证：$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=0$． 2022-04-17 19:02:55
19935 5cee3021210b280220ed3915 高中 解答题 高中习题 设 $z_1,z_2$ 为一对共轭复数，如果 $|z_1-z_2|=\sqrt{6}$，且 $\dfrac{z_1}{z_2^2}$ 为实数，求 $|z_1|$． 2022-04-17 19:02:55
19934 5cee30b8210b280220ed391f 高中 解答题 高中习题 已知复数 $z_1=1+\cos\alpha+{\rm{i}}\sin\alpha$，$z_2=1-\cos\beta+{\rm{i}}\sin\beta$ $(0<\alpha<\pi<\beta<2\pi)$，且 $\arg{z_1}+\arg{z_2}=\dfrac{13\pi}{6}$，$|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{3}$，求 $\alpha,\beta$． 2022-04-17 19:01:55
19933 5cee3124210b28021fc76a72 高中 解答题 高中习题 设复数 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足 $|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$，证明 $\dfrac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$ 是实数． 2022-04-17 19:00:55
19932 5cecf882210b28021fc76996 高中 解答题 自招竞赛 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$ 的任意非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，有不等式 $a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n} \geqslant a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2}$ 成立．请证明上述命题及其逆命题． 2022-04-17 19:00:55
19931 5ced00ac210b280220ed3807 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$BC$ 边上的高 $AD=12$，$\angle A$ 的平分线 $AE=13$．设 $BC$ 边上的中线 $AF=m$，问 $m$ 在什么范围内取值时，$\angle A$ 分别为锐角，直角，钝角． 2022-04-17 19:59:54
19930 5cede9cb210b280220ed385b 高中 解答题 自招竞赛 设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为复数，满足 $\left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|+\cdots+\left|Z_{n}\right|=1$，求证：上述 $n$ 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于 $\dfrac{1}{6}$． 2022-04-17 19:59:54
19929 5cee3189210b280220ed392d 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c\in\mathbb{N}$，且满足 $c=(a+b{\rm{i}})^3-107{\rm{i}}$，求 $c$ 的值． 2022-04-17 19:58:54
19928 5cedef50210b28021fc76a03 高中 解答题 自招竞赛 已知四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的四个顶点位于 $\triangle ABC$ 的边上，求证：四个三角形 $\triangle P_{1} P_{2} P_{3}, \triangle P_{1} P_{2} P_{4}, \triangle P_{1} P_{3} P_{4},\triangle P_{2} P_{3} P_{4}$ 中，至少有一个的面积不大于 $\triangle ABC$ 面积的四分之一． 2022-04-17 19:57:54
19927 5cedfd48210b28021fc76a16 高中 解答题 自招竞赛 能否把 $1,1,2,2,3,3, \cdots, 1986,1986$ 这些数重新排成一行，使得两个 $1$ 之间夹着一个数，两个 $2$ 之间夹着两个数，$\cdots$，两个 $1986$ 之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论． 2022-04-17 19:56:54
19926 5cee23c5210b28021fc76a39 高中 解答题 自招竞赛 用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为 $1$ 或 $\sqrt{3}$ 的正三角形，它的三个顶点是同色的． 2022-04-17 19:56:54
19925 5cee31e3210b28021fc76a86 高中 解答题 高中习题 给定实数 $a,b,c$，已知复数 $z_1,z_2,z_3$ 满足 $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$，$\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}=1$，求 $|az_1+bz_2+cz_3|$ 的值． 2022-04-17 19:55:54
19924 5cee323d210b28021fc76a8c 高中 解答题 高中习题 已知 $x^2+y^2\le1$，$a^2+b^2\le2$，$(x,y,a,b\in\mathbb{R})$，用复数方法证明：$$|b(x^2-y^2)+2axy|\leqslant\sqrt{2}.$$ 2022-04-17 19:54:54
19923 5cef3b3c210b280220ed398a 高中 解答题 高中习题 用Venn图验证如下集合运算律： 2022-04-17 19:54:54
19922 5cef432d210b28021fc76ada 高中 解答题 高中习题 构造一个含有 $n$ 个元素的正整数集合，将其所有子集的元素做和，可以得到 $2^n$ 个不同的值．（规定空集元素之和 $0$）． 2022-04-17 19:53:54
19921 5cee344e210b28021fc76a92 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为自然数．求证：方程：$z^{n+1}-z^{n}-1=0$ 有模为 $1$ 的负根的充分必要条件是 $n+2$ 可被 $6$ 整除． 2022-04-17 19:52:54
19920 5cee3d42210b280220ed3946 高中 解答题 自招竞赛 把边长为 $1$ 的正 $\triangle $ 的各边都 $n$ 等份，过各点作平行于其他两边的直线，将这三角形分成小三角形．各小三角形的顶点都称为结点，在每一结点上放置了一个实数．已知
（Ⅰ）$A,B,C$ 三点上放置的数分别为 $a,b,c$
（Ⅱ）在每个由公共边的两个最小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等．		 2022-04-17 19:52:54
19919 5cee6275210b280220ed3977 高中 解答题 自招竞赛 某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负．通过比赛确定优秀选手．选手 $A$ 被确定为优秀选手的条件是：对任何其他选手 $B$，或者 $A$ 胜 $B$；或者存在选手 $C $，$ C $ 胜 $ B $，$ A $ 胜 $ C$．
如果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证：这名选手胜所有其他的选手．		 2022-04-17 19:51:54
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