已知 $(\sin\alpha,\sin\beta)$ 是函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^3+t^3}$ 和 $g(x)=3tx^2+(3t^2+1)x+t$ 的图像的公共点，求证：$|t|\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $(\sin\alpha,\sin\beta)$ 是两函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^3+t^3}$ 和 $g(x)=3tx^2+(3t^2+1)x+t$ 的图像的公共点，所以
$\sin\beta=\sqrt[3]{\sin^3\alpha+t^3}$ ①
$\sin\beta=3t\sin^2\alpha+(3t^2+1)\sin\alpha+t$ ②
由 ① 得，$\sin^3\beta=\sin^3\alpha+t^3$ ③
② $+$ ③ 得 $\sin^3\beta+\sin\beta=(\sin\alpha+t)^3+\sin\alpha+t$．
令 $f(x)=x^3+x$，则 $f(\sin\beta)=f(\sin\alpha+t)$．
因为函数 $f(x)=x^3+x$ 是 $\mathbf R$ 上的单调增函数，所以
$\sin\beta=\sin\alpha +t$．④
将 ④ 代入 ②，得 $3t\sin^2\alpha+3t^2\sin\alpha=0$．
所以 $t=0$ 或 $t=-\sin\alpha$ 或 $\sin\alpha=0$，即 $t=0$ 或 $t=-\sin\alpha$ 或 $t=\sin\beta$．因此 $|t|\leqslant 1$．
$\sin\beta=\sqrt[3]{\sin^3\alpha+t^3}$ ①
$\sin\beta=3t\sin^2\alpha+(3t^2+1)\sin\alpha+t$ ②
由 ① 得，$\sin^3\beta=\sin^3\alpha+t^3$ ③
② $+$ ③ 得 $\sin^3\beta+\sin\beta=(\sin\alpha+t)^3+\sin\alpha+t$．
令 $f(x)=x^3+x$，则 $f(\sin\beta)=f(\sin\alpha+t)$．
因为函数 $f(x)=x^3+x$ 是 $\mathbf R$ 上的单调增函数，所以
$\sin\beta=\sin\alpha +t$．④
将 ④ 代入 ②，得 $3t\sin^2\alpha+3t^2\sin\alpha=0$．
所以 $t=0$ 或 $t=-\sin\alpha$ 或 $\sin\alpha=0$，即 $t=0$ 或 $t=-\sin\alpha$ 或 $t=\sin\beta$．因此 $|t|\leqslant 1$．
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备注
