如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 $O$．过大圆上一点 $A$ 作小圆的切线 $AC$，切点为 $B$，点 $C$ 在大圆上，$D$ 为 $AB$ 的中点．$\triangle ACE$ 的顶点 $E$ 在小圆上，$AE$ 交小圆于 $F$．设 $CE,DF$ 的垂直平分线的交点 $P$ 在直线 $AC$ 上．求证：$CF\bot DF$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $OB,PE,PF$．由 $AC$ 是小圆的切线，得 $OB\bot AC$．又 $AC$ 是大圆的弦，所以 $AB=BC$．由切割线定理得 $AB^2=AF\cdot AE$ ①
又由 $D$ 为 $AB$ 的中点，可得 $AB=2AD$，又 $AB=\dfrac{1}{2}AC$，代入 ① 得 $AD\cdot AC=AF\cdot AE$，则 $D,F,E,C$ 四点共圆．由点 $P$ 是 $CE,DF$ 的垂直平分线，故 $PE=PC,PF=PD$．②
从而 $\angle PEC=\angle PCE,\angle PFD=\angle PDF$．③
由 $D,F,E,C$ 四点共圆得
$\angle PEF=180^\circ-(\angle PEC+\angle PDF),\angle PFE=180^\circ-(\angle PFD+\angle PCE).$ 又由 ③ 可得 $\angle PEF=\angle PFE$，则 $PE=PF$．又由 ② 可得，$PC=PD=PF$．故 $CF\bot DF$．
又由 $D$ 为 $AB$ 的中点，可得 $AB=2AD$，又 $AB=\dfrac{1}{2}AC$，代入 ① 得 $AD\cdot AC=AF\cdot AE$，则 $D,F,E,C$ 四点共圆．由点 $P$ 是 $CE,DF$ 的垂直平分线，故 $PE=PC,PF=PD$．②
从而 $\angle PEC=\angle PCE,\angle PFD=\angle PDF$．③
由 $D,F,E,C$ 四点共圆得
$\angle PEF=180^\circ-(\angle PEC+\angle PDF),\angle PFE=180^\circ-(\angle PFD+\angle PCE).$ 又由 ③ 可得 $\angle PEF=\angle PFE$，则 $PE=PF$．又由 ② 可得，$PC=PD=PF$．故 $CF\bot DF$．
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