在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$，过点 $P(2,2)$ 作直线 $l_1,l_2$ 与椭圆 $C$ 分别交于 $A,B$ 和 $C,D$，且直线 $l_1,l_2$ 的斜率互为相反数．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
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证明：$PA\cdot PB=PC\cdot PD$；标注答案略解析设直线 $l_10$ 的倾斜角为 $\alpha$，则直线 $l_2$ 的倾斜角为 $\pi-\alpha$．
直线 $l_1$ 的参数方程为：$\begin{cases}
x=2+t\cos\alpha\\
y=2+t\sin\alpha\\
\end{cases}$（$t$ 为参数）．
直线 $l_2$ 的参数方程为：$\begin{cases}
x=2+t\cos(\pi-\alpha)\\
y=2+t\sin(\pi-\alpha)\\
\end{cases}$（$t$ 为参数）．
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$，对应的参数分别为 $t_1,t_2,t_3,t_4$．
将直线 $l_1$ 的参数方程代入椭圆 $C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$，整理得 $(1+\sin^2\alpha)t^2+4(\cos\alpha+2\sin\alpha)t+6=0$，从而 $t_1t_2=\dfrac{6}{1+\sin^\alpha}$．由 $t$ 的几何意义得 $PA\cdot PB=|t_1t_2|=\dfrac{6}{1+\sin^2\alpha}$．同理可得 $PC\cdot PD=|t_3t_4|=\dfrac{6}{1+\sin^2(\pi-\alpha)}=\dfrac{6}{1+\sin^2\alpha}$．所以 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$． -
记直线 $AC,BD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1+k_2$ 为定值．标注答案略解析$x_i=2+t_i\cos\alpha(i=1,2),x_i=2-t_i\cos\alpha(i=3,4),y_i=2+t_i\sin\alpha(i=1,2,3,4)$．由（1）可知，$t_1t_2=t_3t_4$．所以
${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\dfrac{{{y}_{3}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}+\dfrac{{{y}_{4}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{4}}-{{x}_{2}}}=\dfrac{{{t}_{1}}-{{t}_{3}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{3}}}\tan\alpha +\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{4}}}{{{t}_{2}}+{{t}_{4}}}\tan \alpha \\=\dfrac{2\left({{t}_{1}}{{t}_{2}}-{{t}_{3}}{{t}_{4}} \right)}{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{3}}\right)\left( {{t}_{2}}+{{t}_{4}} \right)}\tan \alpha =0.$
即 $k_1+k_2$ 为定值 $0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
