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  面积计算

$512$

由题设，有 $256-16|y|\geqslant 0$，因此 $-16\leqslant y\leqslant 16$．若 $|x^2-16y|=x^2-16y$，则当 $0\leqslant y\leqslant 16$ 时，$|x^2-16y|=x^2-16y=256-16y,x^2=256$，此时 $x\pm 16(0\leqslant y\leqslant 16)$，图像是两条直线段．当 $-16\leqslant y\leqslant 0$ 时，$|x^2-16y|=x^2-16y=256+16y,y=\dfrac{x^2}{32}-8(y\geqslant -8)$，对应于一段二次函数的图像．若 $|x^2-16y|=16y-x^2$，则当 $0\leqslant y\leqslant 16$ 时，类似于前面的推导得 $y=\dfrac{x^2}{32}+8$，对应于一段二次函数图像的一段：$y=\dfrac{x^2}{32}+8(y\geqslant 8)$．当 $-16\leqslant y\leqslant 0$ 时，$|x^2-16y|=16y-x^2=256+16y,$ 得到 $x^2=-256$，无解．
综上所述，区域 $D$ 的集合为：
$D=\{(x,y)|-16\leqslant x\leqslant 16,\dfrac{x^2}{32}-8\leqslant y\leqslant \dfrac{x^2}{32}+8\}$，由，区域 $D$ 上函数图像性质，知区域区域 $D$ 的面积为 $S=32\times 16=512$．

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  弦长公式

$16\sqrt{20-10\sqrt{3}}$

设过点 $M(0,-16)$ 的直线为 $l$，为了求 $|PQ|$ 的最大值，由区域 $D$ 的对称性，只需考虑直线 $l$ 与 $D$ 在 $y$ 轴右侧图像相交部分即可．设过点 $M(0,-16)$ 的直线 $l$ 方程为 $y=kx-16$，易知此时 $l$ 与 $D$ 相交时有 $1\leqslant k<\infty$．
① 当 $2\leqslant k<\infty$ 时，$l$ 与 $D$ 分别相交于二次函数 $y=\dfrac{x^2}{32}-8$ 以及 $y=\dfrac{x^2}{32}+8$，两个交点分别为 $P\left(16\left( k-\sqrt{{{k}^{2}}-1} \right),16\left( {{k}^{2}}-k\sqrt{{{k}^{2}}-1}-1\right) \right),Q\left( 16\left( k-\sqrt{{{k}^{2}}-3} \right),16\left({{k}^{2}}-k\sqrt{{{k}^{2}}-3}-1 \right) \right).$
因此，$|PQ|=16(\sqrt{k^2-1}-\sqrt{k^2-3})\sqrt{1+k^2}$，为关于 $k$ 的递减函数．
② 当 $1\leqslant k\leqslant 2$ 时，$l$ 与 $D$ 分别相交于二次函数 $y=\dfrac{x^2}{32}-8$ 以及直线 $y=16$，从图形性质容易看出，随着 $k$ 从 $2$ 变到 $1$，$|PQ|$ 的值逐步减少．
综上所述，当 $l$ 经过直线 $x=16$ 与二次函数 $y=\dfrac{x^2}{32}+8$ 的图像交点 $Q(16,16)$ 时，$|PQ|$ 的值最大，此时直线 $l$ 的方程为：$y=2x-16,P\left(16\left( 2-\sqrt{3} \right),16\left( 3-2\sqrt{3}\right) \right)$，$|PQ|$ 的值为 $\sqrt{{{\left[16\left( 3-2\sqrt{3} \right)-16 \right]}^{2}}+{{\left[ 16\left( 2-\sqrt{3}\right)-16 \right]}^{2}}}=16\sqrt{20-10\sqrt{3}}$．
当 $|PQ|$ 落在 $y$ 轴上时，$|PQ|=24<16\sqrt{20-10\sqrt{3}}$．因此，$|PQ|$ 的最大值为 $16\sqrt{20-10\sqrt{3}}$．